# Rappels de probabilités et statistiques pour le tireur

De la dispersion d'un groupement à l'analyse d'une série au chronographe, en passant par le modèle quantitatif de la [[technique:visee_dioptre|visée au dioptre]], le tir de précision repose sur quelques notions de probabilités et de statistiques. Cette page les rassemble à un niveau accessible et renvoie aux pages techniques qui les emploient.

<WRAP round info>
Les formules sont rendues par [[doku>plugin:mathjax|MathJax]]. Aucune de ces notions n'est nécessaire pour tirer : elles servent à **comprendre et exploiter les mesures** (groupements, vitesses, réglages).
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## Variable aléatoire, moyenne, variance, écart-type

Une grandeur soumise au hasard — la position d'un impact, la vitesse initiale d'une cartouche, l'instant exact du lâcher — est une **variable aléatoire**. On la résume par deux nombres :

  * la **moyenne** (ou espérance) $\mu = \mathbb{E}[X]$ : la valeur autour de laquelle les tirages se centrent ;
  * la **variance** $\sigma^2 = \mathbb{E}[(X-\mu)^2]$ : la dispersion moyenne autour de cette moyenne. Sa racine, l'**écart-type** $\sigma$, s'exprime dans la même unité que $X$ (mm, m/s…) et mesure directement l'étalement.

Sur un échantillon de $n$ tirs $x_1,\dots,x_n$, on **estime** ces grandeurs par :

$$ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, \qquad s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2. $$

Le diviseur $n-1$ (et non $n$) corrige le fait que $\bar{x}$ est lui-même estimé : c'est l'**écart-type d'échantillon** que renvoient les calculatrices (touche $s$ ou $\sigma_{n-1}$).

> **Au tir.** L'écart-type des vitesses (SD, //standard deviation//) et l'écart extrême (ES) résument la régularité d'une série au chronographe — voir [[technique:rechargement_balistique|rechargement]] et l'[[https://www.tireur.org/notebooks/chronographe.php|analyse de chronographe]].

## La loi normale (gaussienne)

Quand une grandeur résulte de la somme de nombreuses petites causes indépendantes (tremblements, jeux mécaniques, micro-variations d'air…), elle suit approximativement une **loi normale**, la fameuse courbe en cloche :

$$ f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\Bigl(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Bigr). $$

{{:technique:proba_gaussienne.svg?600|Loi normale : 68 % des tirs tombent à moins de 1σ de la moyenne, 95 % à moins de 2σ, 99,7 % à moins de 3σ.}}

Elle est **entièrement décrite** par $\mu$ et $\sigma$. Règle des **68–95–99,7** : environ 68 % des tirs tombent à moins de $1\sigma$ de la moyenne, 95 % à moins de $2\sigma$ et 99,7 % à moins de $3\sigma$. C'est pourquoi un groupement se résume si bien par son écart-type.

Que de nombreuses petites erreurs indépendantes produisent une gaussienne est un résultat profond, le **théorème central limite** : il justifie l'emploi de la loi normale pour modéliser la dispersion d'un tir.

## Dispersion en cible : loi normale à deux dimensions et loi de Rayleigh

Sur la cible, l'écart au point moyen a deux composantes (horizontale $X$ et verticale $Y$). Si chacune est gaussienne, centrée, de même écart-type $\sigma$ et **indépendante** de l'autre, l'impact suit une **loi normale bivariée** $\mathcal{N}(\mathbf{0}, \sigma^2\mathbf{I})$ : un nuage circulaire centré sur le point moyen.

La **distance au centre** $R = \sqrt{X^2 + Y^2}$ suit alors la **loi de Rayleigh** :

$$ f(r) = \frac{r}{\sigma^2}\exp\Bigl(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\Bigr), \qquad r \ge 0. $$

{{:technique:proba_dispersion_cible.svg?440|Loi de Rayleigh : la moitié des impacts tombe dans le cercle CEP (≈ 1,18σ), 95 % dans le cercle R95 (≈ 2,45σ).}}

On en tire les repères de dispersion usuels :

| Repère | Rayon | Signification |
| :--- | :--- | :--- |
| Mode | $\sigma$ | distance la plus probable |
| **CEP** (rayon probable) | $\approx 1{,}18\sigma$ | cercle contenant **50 %** des impacts |
| Rayon moyen | $\sigma\sqrt{\pi/2} \approx 1{,}25\sigma$ | distance moyenne au centre |
| **R95** | $\approx 2{,}45\sigma$ | cercle contenant **95 %** des impacts |

> **Au tir.** Ce modèle relie l'écart-type de visée au **score** (voir plus bas) et fonde le **CEP** (//circular error probable//) utilisé pour comparer armes et munitions.

## Additionner des sources d'erreur indépendantes

Plusieurs causes indépendantes contribuent à la dispersion totale : le tireur, la munition, l'arme, les conditions… Pour des sources **indépendantes**, ce sont les **variances** (les carrés des écarts-types) qui s'additionnent, et non les écarts-types :

$$ \sigma_{\mathrm{tot}}^2 = \sigma_{\mathrm{tireur}}^2 + \sigma_{\mathrm{munition}}^2 + \sigma_{\mathrm{arme}}^2 + \dots $$

C'est un **« théorème de Pythagore des erreurs »**. Conséquence pratique : **la plus grosse source domine**. Réduire une contribution déjà petite ne change presque rien ; il faut s'attaquer au terme dominant. Exemple : avec $\sigma_{\mathrm{arme}} = 0{,}5$ MOA et $\sigma_{\mathrm{tireur}} = 1{,}5$ MOA, on a $\sigma_{\mathrm{tot}} = \sqrt{0{,}5^2 + 1{,}5^2} \approx 1{,}58$ MOA : améliorer l'arme seule ne gagne quasiment rien tant que le tireur domine.

## Comptage de photons : loi de Poisson et rapport signal/bruit

Pour des événements rares et indépendants survenant à taux constant — photons captés par la rétine, clics d'un compteur — le nombre $N$ observé suit une **loi de Poisson**. Sa particularité remarquable : la variance égale la moyenne, donc l'écart-type vaut $\sqrt{N}$.

Le **bruit relatif** décroît donc comme $1/\sqrt{N}$, et le **rapport signal sur bruit** croît comme :

$$ \mathrm{SNR} \propto \frac{N}{\sqrt{N}} = \sqrt{N}. $$

> **Au tir.** C'est la base du modèle photométrique de la [[technique:visee_dioptre|visée au dioptre]] : doubler la lumière n'améliore la détectabilité que d'un facteur $\sqrt{2}$, pas $2$.

## Du tir au score : l'espérance

Le **score moyen** par coup est l'**espérance** de la valeur cotée. Si $s(r)$ est le nombre de points obtenus à la distance $r$ du centre et $f(r)$ la densité de Rayleigh des impacts :

$$ \mathbb{E}[s] = \int_0^\infty s(r)\thinspace f(r)\thinspace\mathrm{d}r. $$

Cette espérance **décroît** quand $\sigma_{\mathrm{tot}}$ augmente : resserrer le groupement (diminuer $\sigma$) augmente le score espéré. C'est le lien quantitatif entre dispersion et performance.

## Estimer un paramètre : précision et intervalle de confiance

Mesurer la moyenne ou l'écart-type d'une série, c'est **estimer** une grandeur à partir d'un échantillon limité — donc avec une incertitude. L'incertitude sur la moyenne, l'**erreur-type** (//standard error//), vaut :

$$ \mathrm{SE}(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}. $$

Elle décroît en $1/\sqrt{n}$ : pour **diviser par deux** l'incertitude, il faut **quatre fois plus** de tirs. Un **intervalle de confiance** à 95 % s'écrit approximativement $\bar{x} \pm 1{,}96\thinspace\mathrm{SE}$ (loi de Student pour les petits échantillons).

> **Au tir.** C'est pourquoi un SD calculé sur 3 balles est peu fiable : estimer un écart-type demande de la donnée. La [[https://www.tireur.org/notebooks/chronographe.php|page d'analyse de chronographe]] illustre cette convergence.

## Information de Fisher et borne de Cramér–Rao

Jusqu'où peut-on estimer précisément une grandeur à partir d'une observation bruitée ? L'**information de Fisher** $\mathcal{I}(\theta)$ mesure la quantité d'information qu'une mesure apporte sur le paramètre $\theta$. La **borne de Cramér–Rao** fixe alors la limite de précision :

$$ \operatorname{Var}(\hat{\theta}) \ge \frac{1}{\mathcal{I}(\theta)}. $$

Aucun estimateur ne peut faire mieux. Plus l'information est grande (signal contrasté, nombreux photons, bords nets), plus la variance minimale est petite.

> **Au tir.** Cette borne explique l'**hyperacuité** : comment l'œil atteint quelques secondes d'arc en centrant des cercles concentriques (voir la [[technique:visee_dioptre|visée au dioptre]]).

## Ajuster un modèle : moindres carrés et maximum de vraisemblance

Pour **caler une loi** sur des données (une courbe balistique, une calibration de guidon), on cherche les paramètres $\theta$ qui rapprochent au mieux le modèle $f(x;\theta)$ des observations $(x_i, y_i)$. La méthode des **moindres carrés** minimise la somme des écarts au carré :

$$ \hat{\theta} = \arg\min_{\theta} \sum_i w_i\bigl(y_i - f(x_i;\theta)\bigr)^2. $$

Les poids $w_i$ donnent plus d'importance aux mesures fiables. Sous l'hypothèse d'un bruit gaussien, cette méthode coïncide avec le **maximum de vraisemblance** (le jeu de paramètres rendant les données observées les plus probables). Pour la rigueur, on contrôle l'ajustement par **validation croisée** et on reporte des **intervalles de confiance** sur les paramètres.

> **Au tir.** C'est la procédure de calibration individuelle du guidon (voir la [[technique:visee_dioptre|visée au dioptre]]) et l'ajustement des modèles de traînée (G1/G7) en [[technique:coefficient_balistique|balistique]].

## Corrélation et indépendance

Deux grandeurs sont **indépendantes** si connaître l'une n'apprend rien sur l'autre — condition qui autorise l'addition des variances (plus haut). La **covariance** et le **coefficient de corrélation** $\rho \in [-1, 1]$ mesurent leur liaison linéaire :

$$ \rho = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}. $$

$\rho = 0$ pour des grandeurs indépendantes ; $\rho = \pm 1$ pour une relation linéaire parfaite. Deux mises en garde : **corrélation n'est pas causalité**, et $\rho$ ne capte que les liaisons **linéaires**.

## Références

  - W. Feller, //An Introduction to Probability Theory and Its Applications//, Wiley, 1968.
  - A. Papoulis, //Probability, Random Variables and Stochastic Processes//, McGraw-Hill, 1991.
  - R. A. Fisher, //Statistical Methods for Research Workers//, Oliver & Boyd, 1925.

## Voir aussi

- [[technique:visee_dioptre|La visée au dioptre]] — modèle quantitatif (Poisson, Rayleigh, Fisher, moindres carrés)
- [[technique:moa_mrad|Minute d'angle (MOA) et milliradian (MRAD)]] — la mesure angulaire utilisée pour exprimer la dispersion
- [[technique:rechargement_balistique|Implications balistiques pour le rechargement]] — SD, ES et consistance d'une série
- [[https://www.tireur.org/notebooks/chronographe.php|Analyse de données de chronographe]] — convergence de la moyenne et de l'écart-type, intervalles de confiance