# Mesurer un groupement : rayon moyen et extreme spread
Devant une cible criblée, tout le monde attrape le pied à coulisse et mesure **les deux impacts les plus écartés**. C'est l'*extreme spread* — le « groupement » au sens courant. Il a deux qualités : il se mesure en dix secondes, et il ne demande aucun calcul.
Il a aussi un défaut que sa simplicité masque : **sa valeur dépend du nombre de coups tirés**. Un groupe de 10 est mécaniquement plus large qu'un groupe de 5 tirés par la même arme, sans que rien n'ait changé ni dans l'arme ni dans la munition. Comparer les deux n'a donc aucun sens — et c'est pourtant ce que font la plupart des comparaisons qu'on lit.
Le **rayon moyen** (*mean radius*) n'a pas ce défaut. Cette page explique ce que chacune des deux mesures dit réellement, et ce qu'un groupe unique permet — ou ne permet pas — de conclure.
Le modèle statistique utilisé ici (loi normale bivariée, loi de Rayleigh) est établi sur la page [Rappels de probabilités et statistiques](technique/probabilites_statistiques#dispersion_en_cibleloi_normale_a_deux_dimensions_et_loi_de_rayleigh). On le reprend ici sans le redémontrer.
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## 1. Les deux mesures
On note $\sigma$ l'**écart-type de la dispersion sur un axe** — la grandeur qui caractérise réellement l'arme et sa munition. C'est elle qu'on cherche à estimer ; ni le rayon moyen ni l'extreme spread ne sont autre chose que des **estimateurs** de $\sigma$.
* **L'extreme spread (ES)** — la plus grande distance entre deux impacts du groupe, mesurée d'axe à axe. Sur cible, on mesure de bord extérieur à bord extérieur puis on retranche un diamètre de balle, ce qui revient au même.
* **Le rayon moyen (RM)** — la distance moyenne de chaque impact au **centre du groupe**, ce centre étant lui-même la moyenne des impacts.
$$RM = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} \sqrt{(x_i - \bar{x})^2 + (y_i - \bar{y})^2}$$
La différence tient en une phrase : **l'ES ne regarde que deux impacts, le rayon moyen les regarde tous.**
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## 2. Le rayon moyen, et son biais à petit nombre de coups
Si les impacts suivent une loi normale bivariée circulaire d'écart-type $\sigma$ par axe, la distance d'un impact au **vrai** centre suit une loi de Rayleigh, de moyenne $\sigma\sqrt{\pi/2} \approx 1{,}253\,\sigma$.
Mais on ne connaît jamais le vrai centre : on mesure les distances au centre **estimé** sur le groupe lui-même. Or ce centre estimé est tiré vers les impacts, donc il les rapproche artificiellement. L'espérance du rayon moyen mesuré vaut :
$$\mathbb{E}[RM] = \sigma\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1 - \frac{1}{N}}$$
| $N$ | $\mathbb{E}[RM]$ | Biais vis-à-vis de $1{,}253\,\sigma$ |
| :---: | :---: | :---: |
| 3 | $1{,}023\,\sigma$ | −18 % |
| 5 | $1{,}121\,\sigma$ | −11 % |
| 10 | $1{,}189\,\sigma$ | −5 % |
| 20 | $1{,}222\,\sigma$ | −2,5 % |
| 50 | $1{,}241\,\sigma$ | −1 % |
**À retenir.** Sur un groupe de 5, le rayon moyen mesuré sous-estime la dispersion réelle de **11 %**. Pour remonter à $\sigma$ sans biais :
$$\hat{\sigma} = \frac{RM}{\sqrt{\pi/2}\,\sqrt{1 - 1/N}}$$
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## 3. L'extreme spread ne converge pas
Le rayon moyen tend vers une valeur fixe quand on ajoute des coups. **L'extreme spread, non** : chaque coup supplémentaire est une chance de plus de tomber loin, donc l'ES ne peut que croître.
| $N$ | $\mathbb{E}[ES]$ | Rapport $ES/RM$ |
| :---: | :---: | :---: |
| 2 | $1{,}772\,\sigma$ | 2,00 |
| 3 | $2{,}411\,\sigma$ | 2,35 |
| 5 | $3{,}066\,\sigma$ | 2,74 |
| 10 | $3{,}815\,\sigma$ | 3,21 |
| 20 | $4{,}451\,\sigma$ | 3,64 |
| 50 | $5{,}190\,\sigma$ | 4,18 |
*(Seul le cas $N = 2$ a une forme analytique, $\sigma\sqrt{\pi}$ ; les autres valeurs viennent d'une simulation de 400 000 groupes.)*
Deux conséquences pratiques, et ce sont les seules choses vraiment importantes de cette page :
**1. Un extreme spread ne se compare qu'à nombre de coups égal.** Une arme qui groupe en 25 mm sur 5 coups et une autre en 30 mm sur 10 coups : c'est la **seconde** qui est la plus précise. Rapportées à $\sigma$, elles donnent $25/3{,}07 = 8{,}2$ contre $30/3{,}81 = 7{,}9$.
**2. Il n'existe pas de facteur de conversion universel** entre extreme spread et rayon moyen. Le rapport passe de 2,0 à 4,2 selon le nombre de coups. Toute règle du type « le rayon moyen vaut le tiers du groupement » est fausse dès qu'on change de $N$.
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## 4. Le vrai défaut de l'extreme spread n'est pas celui qu'on croit
On lit souvent que l'ES « jette l'information » puisqu'il n'utilise que deux impacts sur $N$. C'est vrai en principe, mais **l'effet est modeste**, et il vaut d'être chiffré plutôt qu'asséné. Erreur-type relative de l'estimation de $\sigma$ :
| $N$ | Par le rayon moyen | Par l'extreme spread |
| :---: | :---: | :---: |
| 5 | 26 % | 27 % |
| 10 | 17 % | 19 % |
| 20 | 12 % | 15 % |
Sur un groupe de 5, les deux mesures se valent presque. L'écart ne se creuse qu'en montant en nombre de coups — et il reste modéré.
**Le reproche à faire à l'extreme spread n'est donc pas d'être bruité, mais de ne pas avoir de référence fixe** : sa valeur attendue bouge avec $N$, ce qui interdit toute comparaison entre séries de tailles différentes. Le rayon moyen, lui, corrigé de son biais, estime toujours la même chose.
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## 5. Ce qu'un groupe unique permet de conclure
Peu, et c'est le point le plus utile de cette page. Intervalle à 95 % sur $\sigma$ estimé à partir d'**un seul groupe** (en pourcentage de la vraie valeur) :
| $N$ | Par le rayon moyen | Par l'extreme spread |
| :---: | :---: | :---: |
| 3 | 37 – 178 % | 37 – 180 % |
| 5 | 53 – 154 % | 52 – 158 % |
| 10 | 68 – 136 % | 65 – 142 % |
| 20 | 77 – 124 % | 74 – 132 % |
Un groupe de 5 coups situe la dispersion réelle entre **la moitié et une fois et demie** de ce qu'on a mesuré. Deux chargements dont les groupes diffèrent de 20 % sont donc **indiscernables** sur un groupe chacun — la conclusion rejoint celle établie pour les vitesses sur la page [L'écart-type au chronographe](technique/ecart_type_chronographe).
### Combien de coups faut-il ?
Accumuler plusieurs groupes revient à accumuler des coups. Erreur-type sur $\sigma$, par le rayon moyen :
| Protocole | Coups | Erreur-type |
| :--- | :---: | :---: |
| 1 groupe de 5 | 5 | 26 % |
| 3 groupes de 5 | 15 | 15 % |
| 5 groupes de 5 | 25 | 12 % |
| 10 groupes de 5 | 50 | 8 % |
Il faut **une cinquantaine de coups** pour connaître la dispersion d'une arme à 10 % près. C'est beaucoup, et c'est la raison pour laquelle les comparaisons de chargements fondées sur un groupe de 3 ou 5 sont, statistiquement, sans valeur.
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## 6. En résumé
1. **L'extreme spread ne se compare qu'à nombre de coups égal.** Entre 5 et 10 coups, la valeur attendue passe de $3{,}07\,\sigma$ à $3{,}81\,\sigma$ sans qu'aucun paramètre physique n'ait bougé.
2. **Le rayon moyen mesuré est biaisé bas** à petit $N$ — de 11 % sur un groupe de 5 — mais le biais se corrige exactement, par $\sqrt{1 - 1/N}$.
3. **Aucune conversion universelle** entre les deux mesures : le rapport dépend de $N$.
4. **Un groupe unique ne conclut rien.** Comptez une cinquantaine de coups pour situer la dispersion à 10 % près.
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## Voir aussi
- [Rappels de probabilités et statistiques pour le tireur](technique/probabilites_statistiques) — loi normale bivariée, loi de Rayleigh, CEP et R95.
- [L'écart-type (SD) au chronographe](technique/ecart_type_chronographe) — le même problème d'échantillonnage, appliqué aux vitesses.
- [Générateur de cibles](https://www.tireur.org/techniques/targets/) — pour imprimer les cibles servant à ces mesures.
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//**Page vérifiée.** Ce qui a été recalculé, ce qui a été simulé et **ce qui n'a pas pu être établi** figurent sur la [[verification:technique:rayon_moyen_dispersion|fiche de vérification]].//