Rappels de probabilités et statistiques pour le tireur

De la dispersion d'un groupement à l'analyse d'une série au chronographe, en passant par le modèle quantitatif de la visée au dioptre, le tir de précision fait appel à quelques notions de probabilités et de statistiques.

Une grandeur soumise au hasard — la position d'un impact, la vitesse initiale d'une cartouche, l'instant exact du lâcher — est une variable aléatoire. On la résume par deux nombres :

• la moyenne (ou espérance) $\mu = \mathbb{E}[X]$ : la valeur autour de laquelle les tirages se centrent ;
• la variance $\sigma^2 = \mathbb{E}[(X-\mu)^2]$ : la dispersion moyenne autour de cette moyenne. Sa racine, l'écart-type $\sigma$, s'exprime dans la même unité que $X$ (mm, m/s…) et mesure directement l'étalement.

Sur un échantillon de $n$ tirs $x_1,\dots,x_n$, on estime ces grandeurs par :

$$\begin{aligned} \bar{x} & = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, \\ s^2 & = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2. \end{aligned}$$

Le diviseur $n-1$ (et non $n$) corrige le fait que $\bar{x}$ est lui-même estimé : il rend $s^2$ sans biais, c'est-à-dire juste en moyenne. C'est l'écart-type d'échantillon que renvoient les calculatrices (touche $s$ ou $\sigma_{n-1}$).

La racine, elle, ne l'est pas : $s$ reste en moyenne un peu en dessous de $\sigma$. Pour une loi normale, $\mathbb{E}[s] = c_4\thinspace\sigma$, avec $c_4 \approx 0{,}886$ pour $n = 3$, $0{,}940$ pour $n = 5$ et $0{,}973$ pour $n = 10$. Un SD calculé sur trois balles sous-estime donc l'écart-type réel d'environ 11 % en moyenne, en plus d'être très dispersé d'une série à l'autre.

Au tir. L'écart-type des vitesses (SD, standard deviation) et l'écart extrême (ES) résument la régularité d'une série au chronographe — voir rechargement et l'analyse de chronographe.

Une variable aléatoire discrète ne prend que des valeurs séparées : le nombre de photons captés, les points d'un coup au score. Chaque valeur $k$ a sa probabilité $P(X = k)$, et ces probabilités totalisent 1.

Une variable continue — une vitesse, la position d'un impact — peut prendre n'importe quelle valeur d'un intervalle. La probabilité d'une valeur exacte y est nulle : aucune balle ne sort à exactement 823,000… m/s. On ne peut parler que de la probabilité de tomber dans un intervalle, et on la décrit par une densité de probabilité $f$ :

$$ P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\thinspace\mathrm{d}x. $$

Notation : la majuscule $X$ désigne la variable aléatoire, la minuscule $x$ une valeur qu'elle peut prendre, et $f(x)$ la densité évaluée en cette valeur. La probabilité est l'aire sous la courbe entre $a$ et $b$. Une densité est positive, et son aire totale vaut 1 : la variable tombe forcément quelque part. Sur un petit intervalle de largeur $\Delta x$, on a $P \approx f(x)\thinspace\Delta x$.

Une densité n'est pas une probabilité. Elle s'exprime dans l'inverse de l'unité de $X$ (par m/s, par cm), et elle peut dépasser 1. Exemple : pour des vitesses d'écart-type 3 m/s, la densité culmine à 0,133 par m/s au niveau de la moyenne. La probabilité de tomber à moins de 0,5 m/s de la moyenne, sur un intervalle de 1 m/s, vaut donc environ $0{,}133 \times 1 = 0{,}133$ (valeur exacte : 0,132). Avec un écart-type de 0,1 m/s, le sommet atteindrait 3,99 par m/s.

La moyenne et la variance de la section précédente se calculent avec la densité :

$$\begin{aligned} \mu & = \int x\thinspace f(x)\thinspace\mathrm{d}x, \\ \sigma^2 & = \int (x-\mu)^2 f(x)\thinspace\mathrm{d}x, \end{aligned}$$

et plus généralement l'espérance de toute grandeur $g(X)$ vaut $\mathbb{E}[g(X)] = \int g(x)\thinspace f(x)\thinspace\mathrm{d}x$. C'est ainsi que se calcule plus bas le score moyen.

Enfin, la fonction de répartition $F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\thinspace\mathrm{d}t$ donne directement la probabilité d'être sous un seuil. Elle croît de 0 à 1, et la densité est sa dérivée.

Quand une grandeur résulte de la somme de nombreuses petites causes indépendantes (tremblements, jeux mécaniques, micro-variations d'air…), elle suit approximativement une loi normale, dont la densité est la courbe en cloche :

$$ f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\Bigl(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Bigr). $$

Elle est entièrement décrite par $\mu$ et $\sigma$. Règle des 68–95–99,7 : environ 68 % des tirs tombent à moins de $1\sigma$ de la moyenne, 95 % à moins de $2\sigma$ et 99,7 % à moins de $3\sigma$. C'est pourquoi un groupement se résume par son écart-type.

Que de nombreuses petites erreurs indépendantes produisent une gaussienne est l'objet du théorème central limite [5] : il justifie l'emploi de la loi normale pour modéliser la dispersion d'un tir.

Le langage courant mélange trois idées que la métrologie sépare. Le Vocabulaire international de métrologie (VIM) [8] les définit ainsi :

Le VIM précise que la fidélité s'exprime par un écart-type, que la justesse varie en sens inverse de l'erreur systématique sans dépendre de l'erreur aléatoire, et que l'exactitude ne s'exprime pas par un nombre. Un réglage de hausse corrige la justesse, pas la fidélité.

L'usage du tireur. En français, « précision » désigne le groupement : une arme précise groupe serré, même mal réglée. C'est le sens retenu sur ce site, et il correspond à la fidélité du VIM. L'anglais precision a le même sens, mais le mot accuracy est un faux ami : le VIM le traduit par « exactitude », alors que les tireurs anglophones l'emploient volontiers pour la taille du groupe, un abus que Grubbs relevait déjà en 1964 [7]. Les statisticiens, enfin, appellent « précision » l'inverse d'une variance : c'est le sens de la pondération par la précision, plus bas.

Sur la cible, l'écart au point moyen a deux composantes (horizontale $X$ et verticale $Y$). Si chacune est gaussienne, centrée, de même écart-type $\sigma$ et indépendante de l'autre, l'impact suit une loi normale bivariée $\mathcal{N}(\mathbf{0}, \sigma^2\mathbf{I})$ : un nuage circulaire centré sur le point moyen.

La distance au centre $R = \sqrt{X^2 + Y^2}$ d'un impact est elle-même une variable aléatoire. Elle suit la loi de Rayleigh [14]. Sa densité, évaluée en une distance $r$ donnée (une valeur possible de $R$, en cm par exemple, jamais négative), vaut :

$$\begin{aligned} f(r) & = \frac{r}{\sigma^2}\exp\Bigl(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\Bigr), \\ r & \ge 0. \end{aligned}$$

Le $\sigma$ de cette formule est l'écart-type par axe, celui de $X$ et de $Y$, et non l'écart-type de $R$. La probabilité qu'un impact tombe entre $r$ et $r + \Delta r$ du centre vaut environ $f(r)\thinspace\Delta r$.

On en tire les repères de dispersion usuels :

Ces rayons viennent de la fonction de répartition de la loi de Rayleigh, $F(r) = 1 - \exp\bigl(-r^2/(2\sigma^2)\bigr)$, qui donne la proportion d'impacts à moins de $r$ du centre. L'ECP résout $F(r) = 0{,}5$, soit $r = \sigma\sqrt{2\ln 2} \approx 1{,}177\thinspace\sigma$ ; le R95 résout $F(r) = 0{,}95$, soit $r = \sigma\sqrt{2\ln 20} \approx 2{,}448\thinspace\sigma$.

La même fonction donne l'équivalent, dans le plan, de la règle 68–95–99,7 : 39 % des impacts tombent à moins de $\sigma$ du centre, 86 % à moins de $2\sigma$ et 99 % à moins de $3\sigma$. Six impacts sur dix tombent hors du cercle de rayon $\sigma$. Le cercle du rayon moyen, lui, en contient 54 %.

Au tir. Ce modèle relie l'écart-type de visée au score (voir plus bas) et fonde l'écart circulaire probable (ECP ; circular error probable, CEP) utilisé pour comparer armes et munitions ; sa définition complète, son centre et son estimation sont dans Mesure d'un groupement.

La loi de Rayleigh suppose le même écart-type sur les deux axes. C'est vrai à courte distance, et c'est de moins en moins vrai en s'éloignant, car certaines sources n'agissent que sur un axe :

• le SD de vitesse n'agit que sur la verticale : une balle plus lente vole plus longtemps et tombe davantage ;
• l'incertitude sur le vent n'agit que sur l'horizontale ;
• l'incertitude sur la distance n'agit que sur la verticale : la hausse est réglée pour la distance estimée, pas pour la vraie. Pour une .308 175 gr à 549 m, chaque mètre d'erreur déplace l'impact d'environ 0,8 cm.

Les variances s'additionnent donc axe par axe : $\sigma_x^2 = \sigma_{\mathrm{arme}}^2 + \sigma_{\mathrm{vent}}^2$ et $\sigma_y^2 = \sigma_{\mathrm{arme}}^2 + \sigma_{\mathrm{vitesse}}^2$. L'écart-type vertical dû à la vitesse vaut le SD multiplié par la sensibilité de la chute à la V₀, calculée par le solveur à angle de départ constant.

Le tableau donne le rapport $\sigma_y/\sigma_x$ à vent nul. L'arme groupe à 0,5 MOA en 5 coups, soit $\sigma_{\mathrm{arme}} \approx 0{,}047$ mrad par axe, et le SD de vitesse vaut 3 m/s :

Jusqu'à 300 m, l'écart reste sous 10 % et la loi de Rayleigh convient. À 10 m ou 50 m, la vitesse ne joue pratiquement pas. Au-delà de 600 m, le groupe s'allonge nettement en hauteur, d'autant plus que la balle perd vite sa vitesse. D'autres causes d'anisotropie, non chiffrées ici, s'y ajoutent ou s'y opposent. La respiration et le pouls pèsent surtout sur la verticale en position couchée, le balancement surtout sur l'horizontale debout. La compensation positive (voir tuners et vibrations du canon) peut au contraire réduire la dispersion verticale due à la vitesse à une distance donnée.

Avant d'attribuer un groupe allongé à l'une de ces causes, il faut assez de coups. Même avec une dispersion parfaitement circulaire, le hasard seul allonge les petits groupes : sur 5 coups, l'écart-type mesuré sur un axe dépasse 1,5 fois celui de l'autre axe dans 45 % des cas, et le double dans 21 %. Sur 10 coups, ces proportions tombent à 24 % et 5 % ; sur 20 coups, à 8 % et 0,4 %. D'où le conseil de Ballistipedia [2] : au moins une dizaine de coups avant de juger la forme d'un groupe.

Avec $\sigma_x \neq \sigma_y$, la distance au centre suit une loi de Hoyt. La probabilité de toucher un disque de rayon $r$ n'a plus de forme simple, et elle se calcule par une intégrale à une dimension :

$$\begin{aligned} P(r) = 2\int_0^{r} & \frac{1}{\sigma_x\sqrt{2\pi}} \\ & \exp\Bigl(-\frac{x^2}{2\sigma_x^2}\Bigr) \\ & \mathrm{erf}\Bigl(\frac{\sqrt{r^2 - x^2}}{\sigma_y\sqrt{2}}\Bigr)\thinspace\mathrm{d}x, \end{aligned}$$

où $\mathrm{erf}$ est la fonction d'erreur : pour une position horizontale $x$, le facteur $\mathrm{erf}$ donne la probabilité que l'écart vertical reste dans la corde du disque. Pour un rapport modéré, la formule de Rayleigh avec la moyenne quadratique $\sqrt{(\sigma_x^2 + \sigma_y^2)/2}$ reste une bonne approximation. Composer le vent dans un σ circulaire est en revanche une erreur lourde, car on l'étale aussi en hauteur : sur une plaque de 30 cm à 549 m, avec un écart-type de 3 km/h sur la lecture du vent, on obtient 33 % de touches au lieu de 58 %. Pour un groupement non circulaire, l'ECP se calcule souvent par une formule approchée, celle de Grubbs et Patnaik. Webb [16] montre par simulation que le cercle qu'elle donne reçoit au plus 51,1 % des coups au lieu de 50 % : 2,17 % de trop, en valeur relative. L'intégrale ci-dessus retrouve ce maximum, atteint quand un axe est 4,5 fois plus dispersé que l'autre. Elder [4] compare quatre de ces formules, avec ou sans décalage du point moyen. Leur rayon est en général juste à 1 % près, mais l'erreur atteint 1 à 5 % pour les groupes très allongés et 2 à 10 % dans certaines combinaisons de décalage et d'allongement. L'intégrale, elle, n'a pas besoin d'approximation. L'article de Ballistipedia sur l'ECP [1] rappelle la même règle, en distinguant trois cas : Rayleigh si les deux axes ont la même variance, sans corrélation, et si le point moyen coïncide avec le point visé ; Hoyt si les variances diffèrent ou si les axes sont corrélés ; Rice si le point moyen est décalé.

L'intégrale ci-dessus repose en effet sur deux hypothèses.

• L'ellipse est alignée sur les axes ($\rho = 0$). C'est le cas quand on compose les sources axe par axe comme plus haut. Si un groupe mesuré forme une ellipse inclinée, on l'applique aux écarts-types de ses axes principaux, dont les carrés valent $\frac{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{\sigma_x^2 - \sigma_y^2}{2}\Bigr)^2 + \rho^2\sigma_x^2\sigma_y^2}$.
• Le disque est centré sur le point moyen d'impact. Un zéro imparfait décale ce point : il faut alors intégrer la loi normale sur un disque décentré, ce que la loi de Rice fait sous forme fermée quand la dispersion est circulaire [1]. Le coût d'un zéro réglé sur trop peu de coups est chiffré dans Mesure d'un groupement.

Les outils de référence. L'analyse WEZ (Weapon Employment Zone) d'Applied Ballistics [9, 10] et l'outil de probabilité de Zima Ballistics [17] ne supposent pas de groupement circulaire. Ils relancent le solveur des centaines de fois, en tirant au hasard le vent, la distance, la V₀ et la précision de l'arme (méthode de Monte-Carlo) : chaque source retombe d'elle-même sur son axe. Litz cite [9] pour un traitement plus complet. Pour des sources gaussiennes indépendantes, le calcul direct aboutit au même résultat, sans le bruit d'échantillonnage (1 à 2 % sur 1 000 tirs selon Litz).

Plusieurs causes indépendantes contribuent à la dispersion totale : le tireur, la munition, l'arme, les conditions… Pour des sources indépendantes, ce sont les variances (les carrés des écarts-types) qui s'additionnent, et non les écarts-types :

$$\begin{aligned} \sigma_{\mathrm{tot}}^2 = {} & \sigma_{\mathrm{tireur}}^2 + \sigma_{\mathrm{munition}}^2 \\ & + \sigma_{\mathrm{arme}}^2 + \dots \end{aligned}$$

C'est un « théorème de Pythagore des erreurs ». Conséquence pratique : la plus grosse source domine. Réduire une contribution déjà petite ne change presque rien ; il faut s'attaquer au terme dominant. Exemple : avec $\sigma_{\mathrm{arme}} = 0{,}5$ MOA et $\sigma_{\mathrm{tireur}} = 1{,}5$ MOA, on a $\sigma_{\mathrm{tot}} = \sqrt{0{,}5^2 + 1{,}5^2} \approx 1{,}58$ MOA : améliorer l'arme seule ne gagne quasiment rien tant que le tireur domine.

Pour des événements rares et indépendants survenant à taux constant — photons captés par la rétine, clics d'un compteur — le nombre $N$ observé suit une loi de Poisson. Sa particularité : la variance égale la moyenne, donc l'écart-type vaut $\sqrt{N}$.

Plus précisément, l'écart-type est la racine de la moyenne ; sur une observation, on l'estime par $\sqrt{N}$.

Le bruit relatif décroît donc comme $1/\sqrt{N}$, et le rapport signal sur bruit croît comme :

$$ \mathrm{SNR} \propto \frac{N}{\sqrt{N}} = \sqrt{N}. $$

Au tir. C'est la base du modèle photométrique de la visée au dioptre : doubler la lumière n'améliore la détectabilité que d'un facteur $\sqrt{2}$, pas $2$.

Le score moyen par coup est l'espérance de la valeur cotée. Si $s(r)$ est le nombre de points obtenus à la distance $r$ du centre et $f(r)$ la densité de Rayleigh des impacts :

$$ \mathbb{E}[s] = \int_0^\infty s(r)\thinspace f(r)\thinspace\mathrm{d}r. $$

Cette espérance décroît quand $\sigma_{\mathrm{tot}}$ augmente : resserrer le groupement (diminuer $\sigma$) augmente le score espéré.

Mesurer la moyenne ou l'écart-type d'une série, c'est estimer une grandeur à partir d'un échantillon limité — donc avec une incertitude. L'incertitude sur la moyenne, l'erreur-type (standard error), vaut :

$$\begin{aligned} \mathrm{SE}(\bar{x}) & = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \\ \longrightarrow \quad \widehat{\mathrm{SE}}(\bar{x}) & = \frac{s}{\sqrt{n}}. \end{aligned}$$

En pratique $\sigma$ est inconnu : on le remplace par l'écart-type d'échantillon $s$, et c'est précisément cette substitution qui impose la loi de Student plutôt que la loi normale sur les petits échantillons [6].

L'erreur-type décroît en $1/\sqrt{n}$ : pour diviser par deux l'incertitude, il faut quatre fois plus de tirs. Un intervalle de confiance à 95 % s'écrit approximativement $\bar{x} \pm 1{,}96\thinspace\widehat{\mathrm{SE}}$. Le facteur exact vient de la loi de Student à $n-1$ degrés de liberté, et il est nettement plus grand sur un petit échantillon :

Sur trois tirs, l'intervalle est donc plus de deux fois plus large que ne le dirait le facteur 1,96.

Au tir. C'est pourquoi un SD calculé sur 3 balles est peu fiable. La page d'analyse de chronographe illustre cette convergence.

L'intervalle précédent encadre la moyenne. Le rechargement pose souvent une autre question : quelle valeur ne sera dépassée que par une petite proportion de tous les coups (la vitesse ou la pression du coup le plus chaud), compte tenu de l'incertitude d'un échantillon de $n$ coups ? On cherche une borne de tolérance $\bar{x} + k\thinspace s$ qui couvre au moins une proportion $p$ de la population avec une confiance $\gamma$.

Le facteur $k$ ne se lit pas dans la table de Student. La loi en jeu est la loi de Student non centrée : si $Y$ suit une loi normale centrée réduite et $V$, indépendante, une loi du $\chi^2$ à $\nu$ degrés de liberté, alors $(Y + \delta)/\sqrt{V/\nu}$ suit une loi de Student non centrée de paramètre de non-centralité $\delta$ [15]. Avec $\delta = 0$, c'est la loi de Student ordinaire. Pour la borne de tolérance, $\nu = n-1$ et $\delta = z_p\sqrt{n}$, où $z_p$ est le quantile de la loi normale d'ordre $p$ ; le facteur vaut

$$ k = \frac{t'_{\gamma;\thinspace n-1;\thinspace z_p\sqrt{n}}}{\sqrt{n}}, $$

où $t'$ est le quantile d'ordre $\gamma$ de cette loi [13].

La première ligne borne un seul coup à venir ; la seconde, la quasi-totalité des coups d'un lot, en tenant compte de ce que $s$ peut avoir sous-estimé l'écart-type réel. La marge est de 18 % (50 coups) à 40 % (5 coups) plus grande.

Le critère de la C.I.P. C'est la seconde ligne qui sert au contrôle des pressions : un lot de munitions à percussion centrale est conforme si la pression moyenne $\bar{P}$ de la série ne dépasse pas $P_{max}$ et si $\bar{P} + k\thinspace s \le 1{,}15\thinspace P_{max}$, $s$ étant l'écart-type de la série, avec les facteurs publiés 5,75 (5 coups), 3,98 (10), 3,30 (20) et 2,86 (50) [3].

Le calcul. En Python, scipy.stats.nct.ppf(0.95, n-1, z*sqrt(n)) / sqrt(n) [15] ; en R, qt(0.95, df = n-1, ncp = z*sqrt(n)) / sqrt(n), avec z le quantile normal d'ordre 0,99. Les tableurs n'ont pas cette loi. L'approximation de Natrella s'en passe [12] :

$$\begin{aligned} a & = 1 - \frac{z_\gamma^2}{2(n-1)}, \\ b & = z_p^2 - \frac{z_\gamma^2}{n}, \\ k & \approx \frac{z_p + \sqrt{z_p^2 - ab}}{a}. \end{aligned}$$

Dès cinq coups, elle reste à moins de 1,2 % du facteur exact, légèrement en dessous ; à quatre coups et moins, elle n'est plus fiable.

Au tir. Cinq coups d'une moyenne de 3 000 bar et d'un écart-type de 50 bar donnent une borne de 3 000 + 5,75 × 50 = 3 287,5 bar : c'est cette valeur, et non le coup le plus fort mesuré, qui se compare à 1,15 $P_{max}$. Le guide de rechargement, annexe D détaille la dérivation et les tables.

Deux mesures indépendantes d'une même grandeur, $x_1 \pm \sigma_1$ et $x_2 \pm \sigma_2$, ne se combinent pas par une moyenne simple. Chacune pèse selon sa précision, au sens des statisticiens : $w = 1/\sigma^2$, l'inverse de sa variance.

$$\begin{aligned} \hat{x} & = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2}{w_1 + w_2}, \\ \sigma_{\hat{x}} & = \frac{1}{\sqrt{w_1 + w_2}}. \end{aligned}$$

Ce sont ici les précisions qui s'additionnent. Deux conséquences :

• le résultat est toujours plus précis que la meilleure des deux mesures : $\sigma_{\hat{x}}$ est plus petit que $\sigma_1$ et que $\sigma_2$ ;
• une mesure deux fois moins précise pèse quatre fois moins, et non deux fois moins.

Sous hypothèse gaussienne, c'est exactement la mise à jour bayésienne : l'une des mesures joue le rôle d'a priori, l'autre d'observation, et $\hat{x}$ est la valeur a posteriori.

Quel σ ? La formule ne vaut que si chaque $\sigma$ est l'incertitude de la grandeur comparée. Au chronographe, la grandeur est la V₀ moyenne du lot. Son incertitude n'est pas le SD de la série, qui décrit la dispersion d'un coup à l'autre. Elle se compose de deux termes :

• l'erreur-type $s/\sqrt{n}$ de la section précédente ;
• l'exactitude de l'appareil, au sens du fabricant. C'est en fait une borne sur son erreur systématique, donc sur sa justesse au sens du VIM. Elle n'ajoute presque rien au SD, car c'est une erreur d'échelle (voir l'incertitude du chronographe). Mais elle décale la moyenne tout entière.

$$ \sigma_{\bar{v}}^2 = \frac{s^2}{n} + \sigma_{\mathrm{appareil}}^2 $$

Côté cible, le raisonnement est le même. On compare le centre d'un groupe de $k$ coups, dont l'incertitude verticale vaut $\sigma_y/\sqrt{k}$. L'écart-type vertical $\sigma_y$ s'estime par la hauteur $H$ du groupe, du coup le plus haut au plus bas : $\sigma_y \approx H/d_2$, avec $d_2 = 1{,}693$ à 3 coups, $2{,}326$ à 5 coups et $3{,}078$ à 10 coups (espérance de l'étendue d'une série normale à une dimension). Ce facteur ne s'applique pas à l'écart extrême, qui se mesure dans le plan : il vaut $3{,}066\thinspace\sigma$ à 5 coups (voir mesure d'un groupement). Enfin, $\sigma_y$ contient déjà la part de dispersion due au SD de vitesse : il ne faut pas l'ajouter une seconde fois.

Au tir. Le calculateur balistique applique exactement cette combinaison dans son outil de « truing bayésien de la V₀ ».

L'information de Fisher $\mathcal{I}(\theta)$ mesure la quantité d'information qu'une mesure apporte sur le paramètre $\theta$. La borne de Cramér–Rao fixe alors la limite de précision :

$$ \operatorname{Var}(\hat{\theta}) \ge \frac{1}{\mathcal{I}(\theta)} $$

valable pour tout estimateur $\hat{\theta}$ sans biais.

Plus l'information est grande (signal contrasté, nombreux photons, bords nets), plus la variance minimale est petite. Et comme $\mathcal{I}$ s'additionne sur des observations indépendantes, $n$ mesures donnent $\mathcal{I}_n = n\thinspace\mathcal{I}$ : la variance minimale décroît en $1/n$, l'écart-type en $1/\sqrt{n}$. On retrouve la décroissance de l'erreur-type vue au paragraphe précédent.

Au tir. Cette borne explique l'hyperacuité : comment l'œil atteint quelques secondes d'arc en centrant des cercles concentriques (voir la visée au dioptre).

Pour caler une loi sur des données (une courbe balistique, une calibration de guidon), on cherche les paramètres $\theta$ qui rapprochent au mieux le modèle $f(x;\theta)$ des observations $(x_i, y_i)$. La méthode des moindres carrés minimise la somme des écarts au carré :

$$\begin{aligned} \hat{\theta} & = \arg\min_{\theta} S(\theta), \\ S(\theta) & = \sum_i w_i\bigl(y_i - f(x_i;\theta)\bigr)^2. \end{aligned}$$

Les poids $w_i$ donnent plus d'importance aux mesures fiables. Si le bruit est gaussien et que chaque poids vaut l'inverse de la variance de sa mesure, $w_i = 1/\sigma_i^2$, cette méthode coïncide avec le maximum de vraisemblance [6] (le jeu de paramètres rendant les données observées les plus probables). On contrôle l'ajustement par validation croisée et on reporte des intervalles de confiance sur les paramètres.

Au tir. C'est la procédure de calibration individuelle du guidon (voir la visée au dioptre) et l'ajustement des modèles de traînée (G1/G7) en balistique.

Deux grandeurs sont indépendantes si connaître l'une n'apprend rien sur l'autre — condition qui autorise l'addition des variances (plus haut). La covariance et le coefficient de corrélation $\rho \in [-1, 1]$ mesurent leur liaison linéaire :

$$ \rho = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}. $$

$\rho = 0$ pour des grandeurs indépendantes ; $\rho = \pm 1$ pour une relation linéaire parfaite. Deux mises en garde : corrélation n'est pas causalité, et $\rho$ ne capte que les liaisons linéaires.

1. Ballistipedia — Circular Error Probable, consulté le 2026-09-30. Lois de Rayleigh, Hoyt et Rice selon l'égalité des variances, la corrélation des axes et la position du point visé.
2. Ballistipedia — Stringing, consulté le 2026-09-30. Groupes allongés : causes et nombre de coups avant de juger la forme d'un groupe.
3. Bundesrepublik Deutschland — Beschussverordnung (BeschussV), 13 juillet 2006, version du 1er octobre 2021, consultée le 2026-10-03. Annexe III, n° 5.6.1 et tableau 4 : critère de conformité des pressions et facteurs de tolérance.
4. Elder, R. L. — An Examination of Circular Error Probable Approximation Techniques, mémoire de master, US Air Force Institute of Technology, AFIT/GST/ENS/86M-6 (DTIC ADA172498), 1986, consulté le 2026-09-30. Quatre approximations de l'ECP comparées au calcul exact, selon l'allongement et le décalage du groupe.
5. Feller, W. — An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Wiley, 1968. Théorème central limite et lois usuelles.
6. Fisher, R. A. — Statistical Methods for Research Workers, Oliver & Boyd, 1925. Estimation sur petits échantillons, loi de Student et maximum de vraisemblance.
7. Grubbs, F. E. — Statistical Measures of Accuracy for Riflemen and Missile Engineers, Havre de Grace, chez l'auteur, 1964 ; 2ᵉ éd. de mars 1991, 3ᵉ tirage de décembre 1991, consulté le 2026-09-30. Préface : la dispersion d'un groupement « parfois appelée à tort accuracy ».
8. JCGM — Vocabulaire international de métrologie — Concepts fondamentaux et généraux et termes associés (VIM), JCGM 200:2012, 3ᵉ édition, BIPM, 2012, édition bilingue consultée le 2026-09-30. § 2.13 à 2.15 : exactitude, justesse, fidélité.
9. Litz, B. — Accuracy and Precision for Long Range Shooting: A Practical Guide for Riflemen, Applied Ballistics, 2012 (ISBN 978-0-615-67255-7). Cité par [10] pour le traitement complet de l'analyse WEZ ; non consulté pour cette page.
10. Litz, B. — Applied Ballistics for Long Range Shooting, 3ᵉ éd., Applied Ballistics, 2015, chapitre 16 « Weapon Employment Zone Analysis », p. 271-283. Méthode de Monte-Carlo, sources d'incertitude et niveaux de confiance.
11. Litz, B. — Weapon Employment Zone (WEZ) Analysis: A Conceptual Overview, Applied Ballistics, document ABDOC115, 2021, consulté le 2026-09-30. Note 1 : un « ± » est une borne à 95 %.
12. Natrella, M. G. — Experimental Statistics, National Bureau of Standards Handbook 91, 1963 (réédité en 1966), § 2-5.3, p. 2-15, lu le 2026-10-03. Approximation du facteur de tolérance unilatéral.
13. NIST/SEMATECH — e-Handbook of Statistical Methods, § 7.2.6.3, consulté le 2026-10-03. Facteur de tolérance unilatéral par la loi de Student non centrée, et approximation de Natrella.
14. Papoulis, A. — Probability, Random Variables and Stochastic Processes, McGraw-Hill, 1991. Lois bivariées, loi de Rayleigh et transformations de variables aléatoires.
15. SciPy — scipy.stats.nct, documentation consultée le 2026-10-03. Définition de la loi de Student non centrée.
16. Webb, D. W. — Circular Probable Error for Circular and Noncircular Gaussian Impacts, US Army Research Laboratory, rapport ARL-MR-830 (DTIC AD1043284), septembre 2012 (PDF, approuvé pour diffusion publique), lu en entier le 2026-09-30. Précision de l'approximation de Grubbs et Patnaik quand les deux axes diffèrent.
17. Zima Ballistics — Operator's Guide, section « Hit Probability (WEZ) », consultée le 2026-09-30. Monte-Carlo sur le SD de vitesse, la lecture du vent, la télémétrie et le dévers.

• Glossaire — les termes de cette page et leur équivalent anglais
• La visée au dioptre — modèle quantitatif (Poisson, Rayleigh, Fisher, moindres carrés)
• Minute d'angle (MOA) et milliradian (MRAD) — la mesure angulaire utilisée pour exprimer la dispersion
• Implications balistiques pour le rechargement — SD, ES et consistance d'une série
• L'écart-type (SD) au chronographe — mythes des petits échantillons, comparaison SD vs ES, flyers et dispersion en cible
• Analyse de données de chronographe — convergence de la moyenne et de l'écart-type, intervalles de confiance

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