Rappels de probabilités et statistiques pour le tireur

De la dispersion d'un groupement à l'analyse d'une série au chronographe, en passant par le modèle quantitatif de la visée au dioptre, le tir de précision repose sur quelques notions de probabilités et de statistiques. Cette page les rassemble à un niveau accessible et renvoie aux pages techniques qui les emploient.

Une grandeur soumise au hasard — la position d'un impact, la vitesse initiale d'une cartouche, l'instant exact du lâcher — est une variable aléatoire. On la résume par deux nombres :

• la moyenne (ou espérance) $\mu = \mathbb{E}[X]$ : la valeur autour de laquelle les tirages se centrent ;
• la variance $\sigma^2 = \mathbb{E}[(X-\mu)^2]$ : la dispersion moyenne autour de cette moyenne. Sa racine, l'écart-type $\sigma$, s'exprime dans la même unité que $X$ (mm, m/s…) et mesure directement l'étalement.

Sur un échantillon de $n$ tirs $x_1,\dots,x_n$, on estime ces grandeurs par :

$$ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, \qquad s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2. $$

Le diviseur $n-1$ (et non $n$) corrige le fait que $\bar{x}$ est lui-même estimé : c'est l'écart-type d'échantillon que renvoient les calculatrices (touche $s$ ou $\sigma_{n-1}$).

Au tir. L'écart-type des vitesses (SD, standard deviation) et l'écart extrême (ES) résument la régularité d'une série au chronographe — voir rechargement et l'analyse de chronographe.

Quand une grandeur résulte de la somme de nombreuses petites causes indépendantes (tremblements, jeux mécaniques, micro-variations d'air…), elle suit approximativement une loi normale, la fameuse courbe en cloche :

$$ f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\Bigl(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Bigr). $$

Elle est entièrement décrite par $\mu$ et $\sigma$. Règle des 68–95–99,7 : environ 68 % des tirs tombent à moins de $1\sigma$ de la moyenne, 95 % à moins de $2\sigma$ et 99,7 % à moins de $3\sigma$. C'est pourquoi un groupement se résume si bien par son écart-type.

Que de nombreuses petites erreurs indépendantes produisent une gaussienne est un résultat profond, le théorème central limite : il justifie l'emploi de la loi normale pour modéliser la dispersion d'un tir.

Sur la cible, l'écart au point moyen a deux composantes (horizontale $X$ et verticale $Y$). Si chacune est gaussienne, centrée, de même écart-type $\sigma$ et indépendante de l'autre, l'impact suit une loi normale bivariée $\mathcal{N}(\mathbf{0}, \sigma^2\mathbf{I})$ : un nuage circulaire centré sur le point moyen.

La distance au centre $R = \sqrt{X^2 + Y^2}$ suit alors la loi de Rayleigh :

$$ f(r) = \frac{r}{\sigma^2}\exp\Bigl(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\Bigr), \qquad r \ge 0. $$

On en tire les repères de dispersion usuels :

>Au tir. Ce modèle relie l'écart-type de visée au score (voir plus bas) et fonde le CEP (circular error probable) utilisé pour comparer armes et munitions.

Plusieurs causes indépendantes contribuent à la dispersion totale : le tireur, la munition, l'arme, les conditions… Pour des sources indépendantes, ce sont les variances (les carrés des écarts-types) qui s'additionnent, et non les écarts-types :

$$ \sigma_{\mathrm{tot}}^2 = \sigma_{\mathrm{tireur}}^2 + \sigma_{\mathrm{munition}}^2 + \sigma_{\mathrm{arme}}^2 + \dots $$

C'est un « théorème de Pythagore des erreurs ». Conséquence pratique : la plus grosse source domine. Réduire une contribution déjà petite ne change presque rien ; il faut s'attaquer au terme dominant. Exemple : avec $\sigma_{\mathrm{arme}} = 0{,}5$ MOA et $\sigma_{\mathrm{tireur}} = 1{,}5$ MOA, on a $\sigma_{\mathrm{tot}} = \sqrt{0{,}5^2 + 1{,}5^2} \approx 1{,}58$ MOA : améliorer l'arme seule ne gagne quasiment rien tant que le tireur domine.

Pour des événements rares et indépendants survenant à taux constant — photons captés par la rétine, clics d'un compteur — le nombre $N$ observé suit une loi de Poisson. Sa particularité remarquable : la variance égale la moyenne, donc l'écart-type vaut $\sqrt{N}$.

Le bruit relatif décroît donc comme $1/\sqrt{N}$, et le rapport signal sur bruit croît comme :

$$ \mathrm{SNR} \propto \frac{N}{\sqrt{N}} = \sqrt{N}. $$

Au tir. C'est la base du modèle photométrique de la visée au dioptre : doubler la lumière n'améliore la détectabilité que d'un facteur $\sqrt{2}$, pas $2$.

Le score moyen par coup est l'espérance de la valeur cotée. Si $s(r)$ est le nombre de points obtenus à la distance $r$ du centre et $f(r)$ la densité de Rayleigh des impacts :

$$ \mathbb{E}[s] = \int_0^\infty s(r)\thinspace f(r)\thinspace\mathrm{d}r. $$

Cette espérance décroît quand $\sigma_{\mathrm{tot}}$ augmente : resserrer le groupement (diminuer $\sigma$) augmente le score espéré. C'est le lien quantitatif entre dispersion et performance.

Mesurer la moyenne ou l'écart-type d'une série, c'est estimer une grandeur à partir d'un échantillon limité — donc avec une incertitude. L'incertitude sur la moyenne, l'erreur-type (standard error), vaut :

$$ \mathrm{SE}(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}. $$

Elle décroît en $1/\sqrt{n}$ : pour diviser par deux l'incertitude, il faut quatre fois plus de tirs. Un intervalle de confiance à 95 % s'écrit approximativement $\bar{x} \pm 1{,}96\thinspace\mathrm{SE}$ (loi de Student pour les petits échantillons).

Au tir. C'est pourquoi un SD calculé sur 3 balles est peu fiable : estimer un écart-type demande de la donnée. La page d'analyse de chronographe illustre cette convergence.

Jusqu'où peut-on estimer précisément une grandeur à partir d'une observation bruitée ? L'information de Fisher $\mathcal{I}(\theta)$ mesure la quantité d'information qu'une mesure apporte sur le paramètre $\theta$. La borne de Cramér–Rao fixe alors la limite de précision :

$$ \operatorname{Var}(\hat{\theta}) \ge \frac{1}{\mathcal{I}(\theta)}. $$

Aucun estimateur ne peut faire mieux. Plus l'information est grande (signal contrasté, nombreux photons, bords nets), plus la variance minimale est petite.

Au tir. Cette borne explique l'hyperacuité : comment l'œil atteint quelques secondes d'arc en centrant des cercles concentriques (voir la visée au dioptre).

Pour caler une loi sur des données (une courbe balistique, une calibration de guidon), on cherche les paramètres $\theta$ qui rapprochent au mieux le modèle $f(x;\theta)$ des observations $(x_i, y_i)$. La méthode des moindres carrés minimise la somme des écarts au carré :

$$ \hat{\theta} = \arg\min_{\theta} \sum_i w_i\bigl(y_i - f(x_i;\theta)\bigr)^2. $$

Les poids $w_i$ donnent plus d'importance aux mesures fiables. Sous l'hypothèse d'un bruit gaussien, cette méthode coïncide avec le maximum de vraisemblance (le jeu de paramètres rendant les données observées les plus probables). Pour la rigueur, on contrôle l'ajustement par validation croisée et on reporte des intervalles de confiance sur les paramètres.

Au tir. C'est la procédure de calibration individuelle du guidon (voir la visée au dioptre) et l'ajustement des modèles de traînée (G1/G7) en balistique.

Deux grandeurs sont indépendantes si connaître l'une n'apprend rien sur l'autre — condition qui autorise l'addition des variances (plus haut). La covariance et le coefficient de corrélation $\rho \in [-1, 1]$ mesurent leur liaison linéaire :

$$ \rho = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}. $$

$\rho = 0$ pour des grandeurs indépendantes ; $\rho = \pm 1$ pour une relation linéaire parfaite. Deux mises en garde : corrélation n'est pas causalité, et $\rho$ ne capte que les liaisons linéaires.

• W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Wiley, 1968.
• A. Papoulis, Probability, Random Variables and Stochastic Processes, McGraw-Hill, 1991.
• R. A. Fisher, Statistical Methods for Research Workers, Oliver & Boyd, 1925.

• La visée au dioptre — modèle quantitatif (Poisson, Rayleigh, Fisher, moindres carrés)
• Minute d'angle (MOA) et milliradian (MRAD) — la mesure angulaire utilisée pour exprimer la dispersion
• Implications balistiques pour le rechargement — SD, ES et consistance d'une série
• Analyse de données de chronographe — convergence de la moyenne et de l'écart-type, intervalles de confiance