Mesure d'un groupement

Un groupement se décrit par deux propriétés : sa position, l'écart entre son centre et le point visé, et sa dispersion, l'étalement des impacts autour de ce centre. La dispersion a plusieurs mesures. L'écart extrême (ES ; extreme spread), plus grande distance entre deux impacts, se mesure directement au pied à coulisse. Le rayon moyen (RM ; mean radius, MR), distance moyenne des impacts au centre du groupe, demande de relever la position de chaque impact. L'écart circulaire probable (ECP ; circular error probable, CEP) est le rayon du cercle qui contient la moitié des coups.

Ces mesures ne se comparent pas librement : la valeur attendue de l'écart extrême augmente avec le nombre de coups (d'environ un quart entre 5 et 10 coups, § 4), si bien que deux écarts extrêmes ne se comparent qu'à nombre de coups égal. Celle du rayon moyen, corrigée d'un biais connu (§ 3), n'en dépend pas.

Les deux propriétés d'un groupement correspondent à deux notions du vocabulaire de la mesure (voir précision, justesse, exactitude) :

• la position du groupe mesure sa justesse (trueness). Elle se lit sur le point moyen d'impact (mean point of impact, MPI), moyenne des positions des impacts : son écart au point visé (point of aim) est ce que corrige le réglage du zéro ;
• la dispersion mesure sa fidélité (precision) : l'étalement des impacts autour de leur point moyen, indépendamment de l'endroit où il se trouve.

Un groupe serré mais décalé est fidèle sans être juste ; les deux réunis font l'exactitude (accuracy). Attention au faux ami : en anglais, precision désigne la fidélité, et non l'exactitude.

On note $\sigma$ l'écart-type (standard deviation, SD) de la dispersion sur un axe, horizontal ou vertical : la grandeur qui caractérise l'arme et sa munition. Un groupe de quelques coups n'en donne qu'une estimation. L'écart extrême, le rayon moyen et l'écart circulaire probable en sont des estimateurs, et les tableaux qui suivent les expriment en multiples de $\sigma$.

Le modèle est celui d'une loi normale à deux dimensions : l'écart horizontal et l'écart vertical d'un impact par rapport au centre suivent chacun une loi normale d'écart-type $\sigma$, indépendamment l'un de l'autre. La distance d'un impact au centre suit alors une loi de Rayleigh. Ce modèle est établi sur la page Rappels de probabilités et statistiques.

Ce modèle suppose le même écart-type sur les deux axes. C'est vrai pour un groupement tiré à courte distance, pas au-delà de quelques centaines de mètres, où l'écart-type de vitesse allonge le groupe en hauteur. Les facteurs de cette page valent donc pour des groupes tirés court ; pour un groupe allongé, voir quand la dispersion n'est pas circulaire, l'écart circulaire probable au § 7, l'article de Ballistipedia [1] et le rapport de Webb [10]. Attention toutefois : sur moins d'une dizaine de coups, un groupe tiré par une arme à dispersion parfaitement circulaire paraît souvent allongé par le seul hasard.

La position, elle aussi, n'est qu'estimée : sur $n$ coups, le point moyen d'impact s'écarte du vrai centre de $\sigma\sqrt{\pi/2}/\sqrt{n} \approx 1{,}253\thinspace\sigma/\sqrt{n}$ en moyenne (§ 8).

• L'écart extrême (ES) — la plus grande distance entre deux impacts du groupe, mesurée d'axe à axe. Sur cible, on mesure de bord extérieur à bord extérieur puis on retranche un diamètre de balle, ce qui revient au même.
• Le rayon moyen (RM) — la distance moyenne de chaque impact au centre du groupe, ce centre étant lui-même la moyenne des impacts.

$$\begin{aligned} RM & = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} r_i, \\ r_i & = \sqrt{(x_i - \bar{x})^2 + (y_i - \bar{y})^2} \end{aligned}$$

L'ES ne regarde que deux impacts, le rayon moyen les regarde tous.

Sous le modèle du § 1, la distance d'un impact au vrai centre suit une loi de Rayleigh, de moyenne $\sigma\sqrt{\pi/2} \approx 1{,}253\thinspace\sigma$.

Mais on ne connaît jamais le vrai centre : on mesure les distances au centre estimé sur le groupe lui-même. Or ce centre estimé est tiré vers les impacts, donc il les rapproche artificiellement. L'espérance du rayon moyen mesuré vaut :

$$\mathbb{E}[RM] = \sigma\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1 - \frac{1}{N}}$$

Le rayon moyen tend vers une valeur fixe quand on ajoute des coups. L'écart extrême, non : chaque coup supplémentaire est une chance de plus de tomber loin, donc l'ES ne peut que croître.

(Seul le cas $N = 2$ a une forme analytique, $\sigma\sqrt{\pi}$ ; les autres valeurs viennent de simulations de 1 à 4 millions de groupes par taille.)

Deux conséquences pratiques :

L'écart extrême n'utilise que deux impacts sur $N$, le rayon moyen les utilise tous. L'écart d'efficacité qui en résulte est modeste. Erreur-type (standard error) relative de l'estimation de $\sigma$ :

Sur un groupe de 5, les deux mesures sont presque équivalentes ; l'écart augmente avec le nombre de coups.

La différence principale entre les deux mesures tient donc moins à leur bruit qu'à leur référence : la valeur attendue de l'écart extrême varie avec $N$, ce qui empêche de comparer des séries de tailles différentes, alors que le rayon moyen corrigé de son biais estime la même grandeur quel que soit $N$.

Ni le rayon moyen ni l'écart extrême ne sont l'estimateur le plus efficace. Sous le modèle circulaire, toute l'information que le groupe porte sur $\sigma$ tient dans la somme des carrés des rayons $\sum r_i^2$, chaque rayon étant mesuré au centre du groupe [2, 6, 7]. Elle a un avantage que n'a aucune des deux autres mesures : son intervalle de confiance (confidence interval) est exact, sans simulation ni table.

$$\sigma \in \left[\sqrt{\frac{\sum r_i^2}{\chi^2_{0{,}975}}}\thinspace;\thinspace\sqrt{\frac{\sum r_i^2}{\chi^2_{0{,}025}}}\thinspace\right]$$

Ici $\chi^2_{p}$ est le quantile $p$ de la loi du $\chi^2$ à $k = 2(N-1)$ degrés de liberté : chaque impact apporte deux coordonnées, et l'estimation du centre en consomme deux. Les tableurs le donnent directement : c'est la fonction CHISQ.INV(p; k) des tableurs en anglais, qui renvoie le quantile à gauche.

Plusieurs groupes se mettent en commun sans difficulté : on additionne les $r_i^2$ de tous les groupes, chacun mesuré à son centre, et l'on perd deux degrés de liberté par groupe, soit $k = 2(N - g)$ pour $N$ coups répartis en $g$ groupes.

Le gain sur le rayon moyen est pourtant faible : ce dernier atteint 96 % de l'efficacité de la somme des carrés sur un groupe de 5, et 93 % sur 10 ou 20 coups. Leurs intervalles se confondent presque (65 – 186 % contre 65 – 188 % à 5 coups, dans le sens « mesure → vraie dispersion » du second tableau du § 6). Le rayon moyen reste donc proche de l'optimum ; l'intérêt principal de la somme des carrés est son intervalle exact.

Intervalle à 95 % sur $\sigma$ estimé à partir d'un seul groupe (en pourcentage de la vraie valeur) :

Ce tableau se lit dans le sens « vraie valeur → mesure ». Le tireur a besoin du sens inverse : connaissant sa mesure, où est la vraie dispersion ? Les bornes ne sont pas les mêmes, car on passe à l'inverse du rapport :

Un groupe de 5 coups situe donc la dispersion réelle entre les deux tiers et presque le double de ce qu'on a mesuré. L'intervalle penche vers le haut : l'écart possible est bien plus grand au-dessus de la mesure (jusqu'à +88 %) qu'en dessous (−35 %). Un groupe serré peut donc correspondre à une dispersion réelle presque double, alors qu'un mauvais groupe, dans 95 % des cas, ne l'exagère que d'au plus 54 % (tableau précédent). Deux chargements dont les groupes diffèrent de 20 % sont donc indiscernables sur un groupe chacun — la conclusion rejoint celle établie pour les vitesses sur la page L'écart-type au chronographe.

Selon Leslie [9], entre deux chargements dont la vraie dispersion diffère de 20 %, avec un groupe de 5 coups pour chacun, le meilleur est désigné 68 à 69 fois sur 100 selon la mesure employée, quand le hasard seul en donnerait 50. Avec 10 coups par groupe, 75 à 78 fois sur 100. Entre quatre chargements espacés de 20 % chacun, le meilleur n'est désigné que 58 à 60 fois sur 100 avec des groupes de 5.

Accumuler plusieurs groupes revient à accumuler des coups. Erreur-type sur $\sigma$, par le rayon moyen :

Une erreur-type de 10 % demande environ 35 coups (7 groupes de 5) ; une cinquantaine la ramène à 8 %. Une comparaison de chargements fondée sur un groupe de 3 ou 5 coups ne permet donc pas de conclure, sauf écart très important.

Quand on moyenne l'écart extrême de plusieurs groupes, la taille des groupes compte. À précision égale sur $\sigma$, le nombre total de coups est le plus faible avec des groupes de 6 ou 7 coups [4]. Surcoût en munitions des autres tailles :

Le groupe de 5 est donc pratiquement optimal ; les groupes de 3, et surtout de 2, demandent nettement plus de munitions pour la même précision.

Relever la position de chaque impact fait mieux encore. Le protocole courant de cinq groupes de cinq (25 coups) situe l'écart extrême moyen entre 0,81 et 1,21 fois sa médiane, dans 90 % des cas. La somme des carrés des rayons atteint la même précision sur un seul groupe de 18 ou 19 coups, soit environ un quart de munitions en moins [4]. Il faut en revanche mesurer chaque impact, ce qui demande une cible électronique ou un logiciel de dépouillement.

L'écart circulaire probable (ECP ; circular error probable, CEP) est le rayon du cercle qui contient, en moyenne, la moitié des impacts : c'est le « rayon à 50 % ».

Groupe rond. Autour du point moyen, $\mathrm{ECP} = \sigma\sqrt{2\ln 2} \approx 1{,}177\thinspace\sigma$. Il vaut $0{,}94$ fois le rayon moyen, et le rayon à 95 % (R95 ; 95 % radius) vaut $2{,}08$ fois l'ECP : connaître l'un donne les autres, à condition que le groupe soit rond.

Autour de quel centre ? Deux définitions coexistent, et elles ne donnent pas la même valeur.

• Autour du point moyen d'impact : l'ECP ne mesure que la dispersion. C'est le sens du carnet de tir et de l'analyse de probabilité de toucher du calculateur balistique.
• Autour du point visé : c'est le sens des publications militaires (Grubbs [7], Webb [10]). L'ECP mesure alors l'exactitude au sens du vocabulaire de la mesure : dispersion et écart du point moyen, c'est-à-dire la qualité du zéro.

Pour un groupe rond d'écart-type $\sigma$ par axe dont le point moyen est décalé de $d$ par rapport au point visé, la distance au point visé suit une loi de Rice, et l'ECP autour du point visé grandit avec le décalage :

Un ECP annoncé sans son centre ne se compare donc pas à un autre. Ce que coûte un zéro réglé sur trop peu de coups est chiffré au § 8.

Groupe allongé. Si les écarts-types diffèrent selon l'axe, il n'y a plus de formule exacte simple : l'ECP se calcule par l'intégrale de la loi de Hoyt, sur les axes principaux (principal axes) du groupe. La formule approchée de Grubbs et Patnaik en donne un cercle qui reçoit au plus 51,1 % des coups (Webb [10]). Le carnet de tir affiche cet ECP exact, avec les deux axes, dans sa case « Forme du groupe ».

Estimer l'ECP d'un groupe. L'ECP n'est connu qu'à travers $\sigma$, lui-même estimé sur peu de coups : on le calcule à partir de la somme des carrés des rayons (§ 5), dont il hérite l'incertitude relative et l'intervalle de confiance.

On règle l'organe de visée sur le centre d'un groupe d'essai. Or ce centre est lui-même incertain. Sa distance au vrai centre suit une loi de Rayleigh de paramètre $\sigma/\sqrt{n}$ pour $n$ coups de réglage [5], et vaut donc en moyenne $\sigma\sqrt{\pi/2}/\sqrt{n} \approx 1{,}253\thinspace\sigma/\sqrt{n}$.

Cet écart se paie ensuite à chaque coup. Si l'on règle exactement sur le centre du groupe d'essai, les coups suivants se dispersent autour du point visé avec un écart-type $\sigma\sqrt{1 + 1/n}$, en moyenne sur de nombreux réglages. Proportion de touches sur un disque qui recevrait 50 % des coups avec un zéro parfait (rayon ECP), puis 95 % (rayon R95) :

Régler sur 3 coups fait perdre près de dix touches sur cent au tireur de compétition qui vise le centre (disque « 50 % »). Au chasseur, dont la zone vitale correspond plutôt au disque « 95 % », cela en coûte cinq à six. Passer à 10 coups divise ces pertes environ par trois. Entre 2006 et 2010, la formation de base des recrues de l'U.S. Army est passée des groupes de réglage de 3 coups à des groupes de 5 coups [8].

Un impact s'écarte nettement des autres : est-ce un coup aberrant (outlier), et peut-on l'écarter du calcul ? Un coup ne s'écarte que pour une faute annoncée au départ, comme un lâcher raté ou un appui qui glisse : c'est un coup fautif (flier). Il ne s'écarte jamais d'après sa position : retirer après coup les impacts les plus éloignés sous-estime systématiquement la dispersion. Une loi normale produit d'elle-même des coups écartés, et la page de Ballistipedia sur les fliers [3] rappelle qu'ils font partie du modèle.

Un test statistique peut toutefois dire si un coup est incompatible avec les autres. Culpepper [6] en donne un pour le coup le plus éloigné : le rejeter si sa distance au centre dépasse $k\thinspace\sigma$, avec $k = 3{,}03$ pour 5 coups et $3{,}25$ pour 10, au seuil de 5 %. Mais ce test suppose connus $\sigma$ et le vrai centre. Appliqué à un groupe, avec un centre et un $\sigma$ estimés sur ce même groupe, il ne détecte presque plus rien, car le coup suspect gonfle $\sigma$ et tire le centre vers lui. Sur 5 coups, il ne peut même jamais rejeter : le coup le plus éloigné ne dépasse pas $2{,}53\thinspace\hat{\sigma}$, c'est une borne algébrique. Sur 10 coups, il rejette 0,2 % des groupes normaux au lieu de 5 %.

Le test devient valable si l'on juge chaque coup contre les autres :

1. pour chaque impact, mesurer sa distance $d_i$ au centre des $N-1$ autres ;
2. estimer $\hat{\sigma}_{(i)}$ sur ces $N-1$ autres par la somme des carrés, $\hat{\sigma}_{(i)}^2 = \sum r^2 / \bigl(2(N-2)\bigr)$, les rayons étant pris à leur propre centre ;
3. déclarer le coup aberrant si $d_i$ dépasse le seuil du tableau, exprimé en multiples de $\hat{\sigma}_{(i)}$.

Sans coup aberrant, $d_i^2 / \bigl[2\hat{\sigma}_{(i)}^2(1 + 1/(N-1))\bigr]$ suit exactement une loi de Fisher à 2 et $2(N-2)$ degrés de liberté. Le seuil en est le quantile $1 - 0{,}05/N$, pour tenir compte des $N$ coups examinés. En simulation, le taux de fausses alarmes est bien de 5 % à 5, 10 et 20 coups.

Le test est correctement calibré, mais peu puissant. Un coup tiré avec une dispersion triple n'est repéré que 31 fois sur 100 dans un groupe de 5, 43 fois dans un groupe de 10 et 46 fois dans un groupe de 20. Il sert donc à confirmer un doute précis, pas à trier les groupes : appliqué systématiquement pour « nettoyer » des résultats, il laisserait passer la plupart des vrais coups aberrants, et retirerait à tort un coup dans 5 % des groupes sains.

1. L'écart extrême ne se compare qu'à nombre de coups égal. Entre 5 et 10 coups, la valeur attendue passe de $3{,}07\thinspace\sigma$ à $3{,}81\thinspace\sigma$ sans qu'aucun paramètre physique n'ait bougé.
2. Le rayon moyen mesuré est biaisé bas à petit $N$ — de 11 % sur un groupe de 5 — mais le biais se corrige exactement, par $\sqrt{1 - 1/N}$.
3. Aucune conversion universelle entre les deux mesures : le rapport dépend de $N$.
4. Portée d'un groupe unique. Sur 5 coups, la vraie dispersion va des deux tiers au double de la mesure. Comptez environ 35 coups pour une erreur-type de 10 %.
5. Pour moyenner des écarts extrêmes, tirez des groupes de 5 à 7 coups ; la somme des carrés des rayons, si l'on relève chaque impact, économise encore un quart des munitions et donne un intervalle exact.
6. Un ECP s'annonce avec son centre. Autour du point moyen, il ne mesure que la dispersion ; autour du point visé, il y ajoute l'écart du zéro, et vaut un quart de plus pour un décalage de $\sigma$.
7. Un zéro réglé sur 3 coups est décalé en moyenne de $0{,}72\thinspace\sigma$ : dix coups de réglage divisent la perte de touches environ par trois.
8. Un coup ne s'écarte que pour une faute annoncée au départ. Le test de Culpepper ne s'applique pas tel quel à un groupe ; jugé contre les autres coups, un impact n'est déclaré aberrant qu'au-delà de 4 à 5 fois leur écart-type.

1. Ballistipedia — Circular Error Probable, consulté le 2026-09-30. Lois de Rayleigh, Hoyt et Rice selon la forme du groupe et la position du point visé.
2. Ballistipedia — Closed Form Precision, consulté le 2026-09-30. Estimateur par la somme des carrés des rayons, degrés de liberté perdus par groupe, intervalle exact par la loi du χ² (d'après Siddiqui, 1961 et 1964, non consultés).
3. Ballistipedia — Fliers, consulté le 2026-09-30. Coup aberrant (outlier) et coup fautif (flier) : ce qu'on peut écarter, et pourquoi la loi normale produit d'elle-même des coups écartés.
4. Ballistipedia — Range Statistics, consulté le 2026-09-30. Taille de groupe la plus économique pour l'écart extrême ; comparaison de cinq groupes de cinq avec l'estimateur par la somme des carrés.
5. Ballistipedia — Sighter Distribution, consulté le 2026-09-30. Distance du centre d'un groupe de réglage au vrai centre.
6. Culpepper, G. A. — Statistical Analysis of Radial Error in Two Dimensions, US Army White Sands Missile Range, rapport spécial (DTIC ADA059117), août 1978, consulté le 2026-09-30. Estimateur de Rayleigh, loi du χ² à $2N-2$ degrés de liberté, rapport ECP / rayon moyen de 0,9394, test des coups aberrants sur la distance radiale.
7. Grubbs, F. E. — Statistical Measures of Accuracy for Riflemen and Missile Engineers, Havre de Grace, chez l'auteur, 1964 ; 2ᵉ éd. de mars 1991, 3ᵉ tirage de décembre 1991, consulté le 2026-09-30. Tables 5, 6 et 9 : espérance du rayon moyen et de l'écart extrême, précision relative des estimateurs.
8. James, D. R. et Dyer, J. L. — Rifle Marksmanship Diagnostic and Training Guide, Research Product 2011-07, U.S. Army Research Institute, mai 2011, p. 1 ; consulté le 2026-10-03. Passage des groupes de réglage de 3 à 5 coups.
9. Leslie, J. E. III — Is "Group Size" the Best Measure of Accuracy?, 1993, publié dans The Canadian Marksman 129 (1), automne 1994, p. 46-48, consulté le 2026-09-30. Probabilité de désigner le chargement le plus serré selon la mesure employée.
10. Webb, D. W. — Circular Probable Error for Circular and Noncircular Gaussian Impacts, US Army Research Laboratory, rapport ARL-MR-830 (DTIC AD1043284), septembre 2012 (PDF, approuvé pour diffusion publique).

• Glossaire — les termes de cette page et leur équivalent anglais.
• Rappels de probabilités et statistiques pour le tireur — loi normale bivariée, loi de Rayleigh, ECP et R95.
• L'écart-type (SD) au chronographe — le même problème d'échantillonnage, appliqué aux vitesses.
• Générateur de cibles — pour imprimer les cibles servant à ces mesures.

Page vérifiée. Ce qui a été recalculé, ce qui a été simulé et ce qui n'a pas pu être établi figurent sur la fiche de vérification.