Balistique intérieure

La balistique intérieure étudie les phénomènes physiques et chimiques qui se déroulent à l'intérieur du canon depuis la percussion de l'amorce jusqu'à la sortie du projectile de la bouche du canon. Elle régit la combustion de la poudre, la montée en pression des gaz et l'accélération de la balle.

Les équations ci-dessous présentent le modèle thermodynamique à paramètres localisés (0D), formulation classique de la balistique intérieure académique [1][2][3] sur laquelle reposent aussi les calculateurs comme Gordon's Reloading Tool (GRT) ou QuickLOAD. Les éléments propres à l'implémentation GRT (fonction de forme à 3 phases, partage d'énergie calibré) sont signalés comme tels — ils relèvent d'un développement spécifique en partie non publié [8].

La revue de référence du domaine [11] classe les modèles de balistique intérieure en deux familles :

• Modèles à paramètres localisés (lumped-parameter, 0D) — dont relève le modèle thermodynamique décrit ci-dessous. Ils supposent un allumage instantané et une combustion uniforme dans tout le volume de la charge, avec une pression répartie selon une loi simple (Lagrange ou gradient de Pidduck-Kent) entre la culasse et le culot du projectile. Peu gourmands en calcul, ils sont le standard pour l'analyse paramétrique et l'optimisation des couples arme/munition. Les codes de référence sont le modèle fondateur de Baer & Frankle (US Ballistic Research Laboratory), IBHVG2 [9], le modèle STANAG 4367 [10] (OTAN, cité comme l'un des plus précis, diffusion restreinte) et le modèle analytique de Mayer & Hart (1945) [13], qui fournit des expressions fermées de la pression maximale et de l'énergie de bouche.
• Modèles CFD multiphasiques (Eulérien-Eulérien « deux fluides », Eulérien-Lagrangien / DEM) — résolvent l'écoulement couplé gaz-particules à 1, 2 ou 3 dimensions. Seuls eux capturent les ondes de pression, les non-uniformités d'allumage (flame-spreading), la fracturation des grains et les géométries de chargement complexes — au prix de ressources de calcul bien supérieures.

Le « trou » des petits calibres. La revue [11] souligne que la quasi-totalité des modèles publiés — 0D comme CFD — sont conçus pour les moyens et gros calibres (artillerie) et validés sur le canon-étalon fictif AGARD (132 mm), et que trop peu d'efforts ont porté sur les armes de petit calibre (leur recommandation explicite est d'y consacrer davantage de travail). D'où notre choix : transposer au petit calibre un solveur de combustion hérité de l'artillerie est mal conditionné, ce qui motive notre approche empirique calée sur les données fabricant (modèle énergie-efficacité) plutôt qu'un solveur thermodynamique générique.

À très haute pression (plusieurs milliers de bars) et haute température, la loi des gaz parfaits ($PV = nRT$) n'est plus valide car elle néglige le volume propre des molécules. La balistique intérieure utilise l'équation d'état de Noble-Abel [6], qui introduit une correction de covolume ($\eta$) :

$$P \cdot (V_{ch} - m_c \cdot \eta) = m_c \cdot R \cdot T$$

Dans le cas d'une charge en cours de combustion, le volume disponible pour les gaz ($V_{gaz}$) est réduit par le volume de la poudre solide non encore brûlée et le covolume des gaz déjà produits [1][2] :

$$\begin{aligned} & V_{gaz}(t) = V_0 + A \cdot x(t) \\ & \quad - \frac{m_c \cdot (1 - z(t))}{\rho_c} \\ & \quad - \eta \cdot m_c \cdot z(t) \end{aligned}$$

Où :

• $V_0$ : Volume initial de la chambre de combustion (volume de l'étui moins le volume occupé par le projectile siégé).
• $A$ : Section transversale effective de l'âme du canon ($c_Q$).
• $x(t)$ : Déplacement du projectile le long du canon.
• $m_c$ : Masse totale de la charge propulsive.
• $z(t)$ : Fraction de poudre brûlée ($0 \le z \le 1$).
• $\rho_c$ : Densité matérielle de la poudre solide (typiquement $\approx 1600 \text{ kg/m}^3$ ; la base de poudres du site couvre 1 520 à 1 680).
• $\eta$ : Covolume spécifique des gaz (typiquement $\approx 1 \text{ cm}^3\text{/g}$ ou $0,001 \text{ m}^3\text{/kg}$). Corner [2] donne « environ 1 cc/g », avec « pour les propergols actuels une plage de seulement 0,9 à 1,1 » — et les 39 poudres de la base du site portent toutes exactement 1.

La pression moyenne à chaque instant est alors calculée à partir de l'énergie thermique interne $E(t)$ du gaz [1][2] :

$$P(t) = \frac{E(t) \cdot (k - 1)}{V_{gaz}(t)}$$

Où $k$ est le rapport des chaleurs spécifiques du gaz de combustion (coefficient isentropique). On définit aussi la force (impetus) de la poudre $F = R \cdot T_{ex} = Q_{ex} \cdot (k-1)$, mesurée en bombe manométrique [1][3][8] — Corner [2] appelle « potentiel » la grandeur $RT_0/(k-1) = Q_{ex}$ et la situe entre 600 et 1 200 cal/g, soit 2,5 à 5,0 MJ/kg ; les poudres de la base du site vont de 3,2 à 4,5 MJ/kg.

L'énergie thermique du gaz de combustion $E(t)$ évolue selon le principe de conservation de l'énergie (équation de Resal) [1][2][3] :

$$\begin{aligned} & E(t) = E_{chimique}(t) \\ & \quad - E_{cinétique}(t) - W_{friction}(t) \\ & \quad - Q_{pertes}(t) \end{aligned}$$

L'énergie chimique totale libérée par la combustion d'une fraction $z(t)$ est :

$$E_{chimique}(t) = m_c \cdot Q_{ex} \cdot z(t)$$

Où $Q_{ex}$ est la chaleur spécifique d'explosion du propulseur (en $\text{J/kg}$).

Une partie de l'énergie effectue un travail pour accélérer le projectile et la colonne de gaz en expansion derrière lui. Selon l'approximation de Lagrange [1][2], la vitesse des gaz varie linéairement de zéro à la culasse jusqu'à la vitesse du projectile $v$ à sa base. Cela équivaut à ajouter un tiers de la masse de poudre à la masse du projectile (masse effective ; les modèles plus fins emploient le gradient de Pidduck-Kent ou un « facteur de Sebert » [5][8]) :

$$m_{eff} = m_{balle} + \frac{m_c}{3}$$

Corner [2] pose cette hypothèse — « la vitesse du gaz en tout point est proportionnelle à la distance à la face de culasse », d'où une énergie cinétique du gaz de $\tfrac16 m_c v^2$ et une somme $\tfrac12(m_{balle} + m_c/3)v^2$ — et il en donne la borne de validité : l'approximation ne devient gênante que « lorsque $C/W$ approche l'unité, c'est-à-dire vers 4 000 ft/s ». En arme d'épaule, ce rapport charge/projectile vaut typiquement 0,25 à 0,5 (0,26 pour une .308 à 44 gr sous 168 gr, 0,45 pour une .223 à 25 gr sous 55 gr), et monte jusqu'à 0,7 ou 0,8 sur les cartouches varmint les plus rapides : on reste sous le seuil, mais il n'est plus lointain pour ces dernières.

$$E_{cinétique}(t) = \frac{1}{2} m_{eff} \cdot v(t)^2$$

Gradient de pression. La même hypothèse fixe la répartition de la pression entre la culasse et la balle : pour accélérer les gaz qui la suivent, la pression doit être plus forte côté culasse. Avec $p_S$ la pression sur le culot de la balle, la pression à la culasse $p_B$ et la pression moyenne $\bar{p}$ sur la colonne de gaz valent [1]

$$p_B = p_S \left(1 + \frac{m_c}{2 m_{balle}}\right)$$

$$\bar{p} = p_S \left(1 + \frac{m_c}{3 m_{balle}}\right)$$

La masse effective $m_{balle} + m_c/3$ est donc celle de la pression moyenne. Les capteurs de la C.I.P. et des fabricants mesurent la pression dans la chambre, qui répond à $m_{balle} + m_c/2$ : pour une .308 à 44 gr sous 168 gr, elle dépasse de 13 % la pression qui pousse la balle. La courbe de Le Duc des estimateurs du site est tracée en pression de chambre.

Le modèle GRT applique un facteur de pertes thermiques aux parois du canon (typiquement $\beta_{loss} \approx 15\%$) et soustrait le travail mécanique contre les forces de frottement — les coefficients précis de pertes (gaz, chaleur, matériau de balle) sont spécifiques à GRT [8]. L'équation différentielle de l'énergie est donc :

$$\begin{aligned} \frac{dE}{dt} = {} & m_c \cdot Q_{ex} \cdot \frac{dz}{dt} \cdot (1 - \beta_{loss}) \\ & - P(t) \cdot A \cdot v(t) \end{aligned}$$

La vitesse à laquelle la fraction de poudre brûle ($\frac{dz}{dt}$) dépend de la pression ambiante (loi de combustion de Vieille, $v_{comb} \propto P^{\thinspace n}$, avec ici $n \approx 1$) [7] et de la géométrie du grain, modélisée par une fonction de forme $\phi(z)$ [1][2] :

$$\frac{dz}{dt} = Ba \cdot P_{bar} \cdot \phi(z)$$

Où :

• $Ba$ : Coefficient de vivacité de la poudre, en $\text{bar}^{-1}\text{s}^{-1}$.
• $P_{bar}$ : Pression moyenne, exprimée en bars.
• $\phi(z)$ : La fonction de forme relative à la surface géométrique de combustion.

Cette forme linéaire en pression est cohérente avec la définition de la vivacité de GRT : à partir de l'équation de mesure en bombe manométrique [8], on retrouve par simplification exacte $\frac{dz}{dt} = Ba \cdot \phi(z) \cdot P / p_0$.

La géométrie des grains (tubes perforés, paillettes, sphères) fait varier la surface de combustion au cours du temps. GRT modélise cela par un schéma à trois étages [8] (vs deux pour QuickLOAD), avec des coefficients de transition $z_1$ (fin de phase progressive) et $z_2$ (début de phase dégressive secondaire) — formulation propre à GRT, non publiée en détail :

1. Phase progressive/neutre ($z \le z_1$) : la surface augmente ou reste stable selon le coefficient de progressivité $a_0$ : $$\phi(z) = (1 - z) \cdot (1 + a_0 \cdot z)$$
2. Phase de transition ($z_1 < z \le z_2$) : combustion régressive, transition (ici linéaire) : $$\phi(z) = \text{Interp}\left(\phi(z_1),\ 1 - z_2\right)$$
3. Phase de burnout ($z > z_2$) : combustion finale des résidus vers zéro à $z=1$ : $$\phi(z) = (1 - z) \cdot \frac{1 - z}{1 - z_2}$$

Les formules de $\phi(z)$ ci-dessus sont l'implémentation actuelle de notre outil, une approximation du modèle GRT (non publié). C'est l'un des points identifiés comme limitant la précision — voir l'avertissement en tête.

Le projectile subit une force motrice liée à la pression des gaz et une force de résistance (frottement et forcement dans les rayures) [1][2] :

$$\frac{dv}{dt} = \frac{A \cdot (P(t) - P_{friction})}{m_{eff}}$$

• Pression de forcement (engraving pressure, $P_{start}$) : le projectile ne commence à bouger que lorsque la pression de la chambre dépasse un seuil de forcement initial ($P > P_{start}$), typiquement entre $150$ et $250 \text{ bar}$.
• Pression de frottement ($P_{friction}$) : une fois le projectile en mouvement dans les rayures, la résistance est modélisée par une pression constante, typiquement $\approx 100 \text{ bar}$.

Le comportement dynamique du système est modélisé par un système de 4 équations différentielles ordinaires couplées pour le vecteur d'état $\mathbf{y}(t) = [x, v, z, E]^T$ :

$$\frac{d\mathbf{y}}{dt} = \begin{bmatrix} v \\ a(P) \\ \frac{dz}{dt}(P, z) \\ \frac{dE}{dt}(P, v, \frac{dz}{dt}) \end{bmatrix}$$

Ce système est résolu numériquement par la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4) avec un pas de temps fixe de $1\ \mu\text{s}$ ($10^{-6}\text{ s}$), garantissant une bonne stabilité y compris lors de la montée en pression pic ($P_{max}$). Les codes de référence (p. ex. IBHVG2 [9], modèle STANAG 4367 [10]) reposent sur des intégrations analogues du même système 0D.

Le concept d'Optimal Barrel Time (OBT), proposé par Chris Long [12], postule que le canon d'une carabine vibre comme un diapason lors du tir. L'ignition de la charge génère des ondes de choc longitudinales qui font des allers-retours dans l'acier du canon à la vitesse du son (environ 5920 m/s). Pour une précision optimale et pour minimiser l'influence des variations de vitesse (ES) sur la cible, le projectile devrait quitter la bouche lorsque celle-ci est dans un état de déformation minimale ou stable, appelé « nœud ».

Le temps de séjour idéal de la balle dans le canon (en millisecondes) pour un nœud $N$ est estimé empiriquement en fonction de la longueur du canon $L$ (en pouces, de la cuvette de tir à la bouche) : $$OBT = (A N + B) L + C N + D$$ Les coefficients $A, B, C, D$ varient selon la parité du nœud $N$. Notre simulateur calcule ce temps pour les nœuds 1 à 8 et signale une coïncidence éventuelle avec le temps de canon estimé. L'OBT reste une théorie débattue, distincte du modèle thermodynamique des sections 1–5.

1. D. E. Carlucci, S. S. Jacobson — Ballistics: Theory and Design of Guns and Ammunition, CRC Press, 2008.
2. J. Corner — Theory of the Interior Ballistics of Guns, Wiley, 1950.
3. B. P. Kneubühl — Ballistik – Theorie und Praxis, Springer (ISBN 978-3-662-58299-2).
4. R. E. Kutterer — Ballistik (ISBN 978-3-663-02335-7). Lecture de fond, non appelée dans le texte.
5. Rheinmetall — Waffentechnisches Taschenbuch (Handbook on Weaponry).
6. Noble & Abel — travaux sur les explosifs et l'équation d'état à haute pression (covolume), ≈1875.
7. P. Vieille — loi de vitesse de combustion des poudres, ≈1893.
8. Gordon's Reloading Tool — Manuel & documentation, grtools.de (formalisme, bombe manométrique, fonction de forme 3 étages, modèle d'énergie).
9. R. Anderson, K. Fickie — IBHVG2 — A User's Guide, US Army Ballistic Research Laboratory, 1987.
10. STANAG 4367 — Thermodynamic Interior Ballistic Model (OTAN ; diffusion restreinte).
11. F. Ongaro, C. Robbe, A. Papy, B. Stirbu, A. Chabotier — Modelling of internal ballistics of gun systems: A review, Defence Technology 41 (2024) 35–58, Royal Military Academy (Belgique). DOI : 10.1016/j.dt.2024.05.004 (open access, CC BY-NC-ND).
12. C. Long — Optimal Barrel Time (OBT), théorie du temps de canon optimal.
13. J. E. Mayer, B. I. Hart — « Simplified Equations of Interior Ballistics », Journal of the Franklin Institute 240 (5), 1945, p. 401-411 (expressions fermées de $P_{max}$ et de l'énergie de bouche). DOI.

• Guide de Balistique Extérieure — guide de balistique complet.
• The Art of the Precision Rifle (PDF) — guide de rechargement complet rédigé sous LaTeX.
• Coefficient balistique (CB) — efficacité du projectile à l'air libre.
• Balistique terminale — comportement du projectile à l'impact (dernier maillon de la chaîne).
• Calculateur balistique 3-DOF — pour le calcul de la trajectoire extérieure.
• Estimateur de balistique intérieure — estimateur énergie-efficacité (vitesse & pression), recommandé.
• La formule de Le Duc — la loi empirique de la vitesse selon la course, et la courbe de pression qu'en tirent les estimateurs du site.

Page vérifiée. Les attributions à la revue de référence ont été rouvertes, une inconsistance énergétique du modèle est désormais dite, et l'avertissement porte la nuance de régime qui manquait. Détail sur la fiche du dossier balistique interne.