La balistique intérieure étudie les phénomènes physiques et chimiques qui se déroulent à l'intérieur du canon depuis la percussion de l'amorce jusqu'à la sortie du projectile de la bouche du canon. Elle régit la combustion de la poudre, la montée en pression des gaz et l'accélération de la balle.
Les équations ci-dessous présentent le modèle thermodynamique à paramètres localisés (0D), formulation classique de la balistique intérieure académique [1][2][3] sur laquelle reposent aussi les calculateurs comme Gordon's Reloading Tool (GRT) ou QuickLOAD. Les éléments propres à l'implémentation GRT (fonction de forme à 3 phases, partage d'énergie calibré) sont signalés comme tels — ils relèvent d'un développement spécifique en partie non publié [8].
Avertissement. Notre simulateur hérité (Gordon's Reloading Tool) illustre les principes et les tendances présentés ici, mais son modèle sous-estime la pression (~25–35 %) et la vitesse (~15–25 %) par rapport aux données fabricant (validation menée sur des charges Reload Swiss). Il est indicatif et pédagogique. Pour des estimations chiffrées, préférez l'Estimateur de balistique intérieure (modèle énergie-efficacité). Dans tous les cas, ne développez jamais une charge réelle sur ces seules valeurs — vérifiez toujours dans les données officielles du fabricant. Méthodologie et chiffres : Validation & limites du modèle.
À très haute pression (plusieurs milliers de bars) et haute température, la loi des gaz parfaits ($PV = nRT$) n'est plus valide car elle néglige le volume propre des molécules. La balistique intérieure utilise l'équation d'état de Noble-Abel [6], qui introduit une correction de covolume ($\eta$) :
$$P \cdot (V_{ch} - m_c \cdot \eta) = m_c \cdot R \cdot T$$
Dans le cas d'une charge en cours de combustion, le volume disponible pour les gaz ($V_{gaz}$) est réduit par le volume de la poudre solide non encore brûlée et le covolume des gaz déjà produits [1][2] :
$$V_{gaz}(t) = V_0 + A \cdot x(t) - \frac{m_c \cdot (1 - z(t))}{\rho_c} - \eta \cdot m_c \cdot z(t)$$
Où :
La pression moyenne à chaque instant est alors calculée à partir de l'énergie thermique interne $E(t)$ du gaz [1][2] :
$$P(t) = \frac{E(t) \cdot (k - 1)}{V_{gaz}(t)}$$
Où $k$ est le rapport des chaleurs spécifiques du gaz de combustion (coefficient isentropique, typiquement $\approx 1,2$). On définit aussi la force (impetus) de la poudre $F = R \cdot T_{ex} = Q_{ex} \cdot (k-1)$, mesurée en bombe manométrique [1][3][8].
L'énergie thermique du gaz de combustion $E(t)$ évolue selon le principe de conservation de l'énergie (équation de Resal) [1][2][3] :
$$E(t) = E_{chimique}(t) - E_{cinétique}(t) - W_{friction}(t) - Q_{pertes}(t)$$
L'énergie chimique totale libérée par la combustion d'une fraction $z(t)$ est :
$$E_{chimique}(t) = m_c \cdot Q_{ex} \cdot z(t)$$
Où $Q_{ex}$ est la chaleur spécifique d'explosion du propulseur (en $\text{J/kg}$).
Une partie de l'énergie effectue un travail pour accélérer le projectile et la colonne de gaz en expansion derrière lui. Selon l'approximation de Lagrange [1][2], la vitesse des gaz varie linéairement de zéro à la culasse jusqu'à la vitesse du projectile $v$ à sa base. Cela équivaut à ajouter un tiers de la masse de poudre à la masse du projectile (masse effective ; les modèles plus fins emploient le gradient de Pidduck-Kent ou un « facteur de Sebert » [5][8]) :
$$m_{eff} = m_{balle} + \frac{m_c}{3}$$
$$E_{cinétique}(t) = \frac{1}{2} m_{eff} \cdot v(t)^2$$
Le modèle GRT applique un facteur de pertes thermiques aux parois du canon (typiquement $\beta_{loss} \approx 15%$) et soustrait le travail mécanique contre les forces de frottement — les coefficients précis de pertes (gaz, chaleur, matériau de balle) sont spécifiques à GRT [8]. L'équation différentielle de l'énergie est donc :
$$\frac{dE}{dt} = m_c \cdot Q_{ex} \cdot \frac{dz}{dt} \cdot (1 - \beta_{loss}) - P(t) \cdot A \cdot v(t)$$
La vitesse à laquelle la fraction de poudre brûle ($\frac{dz}{dt}$) dépend de la pression ambiante (loi de combustion de Vieille, $v_{comb} \propto P^{,n}$, avec ici $n \approx 1$) [7] et de la géométrie du grain, modélisée par une fonction de forme $\phi(z)$ [1][2] :
$$\frac{dz}{dt} = Ba \cdot P_{bar} \cdot \phi(z)$$
Où :
Cette forme linéaire en pression est cohérente avec la définition de la vivacité de GRT : à partir de l'équation de mesure en bombe manométrique [8], on retrouve par simplification exacte $\frac{dz}{dt} = Ba \cdot \phi(z) \cdot P / p_0$.
La géométrie des grains (tubes perforés, paillettes, sphères) fait varier la surface de combustion au cours du temps. GRT modélise cela par un schéma à trois étages [8] (vs deux pour QuickLOAD), avec des coefficients de transition $z_1$ (fin de phase progressive) et $z_2$ (début de phase dégressive secondaire) — formulation propre à GRT, non publiée en détail :
>Les formules de $\phi(z)$ ci-dessus sont l'implémentation actuelle de notre outil, une approximation du modèle GRT (non publié). C'est l'un des points identifiés comme limitant la précision — voir l'avertissement en tête et le suivi dans la roadmap du projet.
Le projectile subit une force motrice liée à la pression des gaz et une force de résistance (frottement et forcement dans les rayures) [1][2] :
$$\frac{dv}{dt} = \frac{A \cdot (P(t) - P_{friction})}{m_{eff}}$$
Le comportement dynamique du système est modélisé par un système de 4 équations différentielles ordinaires couplées pour le vecteur d'état $\mathbf{y}(t) = [x, v, z, E]^T$ :
$$\frac{d\mathbf{y}}{dt} = \begin{bmatrix} v \ a(P) \ \frac{dz}{dt}(P, z) \ \frac{dE}{dt}(P, v, \frac{dz}{dt}) \end{bmatrix}$$
Ce système est résolu numériquement par la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4) avec un pas de temps fixe de $1\ \mu\text{s}$ ($10^{-6}\text{ s}$), garantissant une bonne stabilité y compris lors de la montée en pression pic ($P_{max}$). Les codes de référence (p. ex. IBHVG2 [9], modèle STANAG 4367 [10]) reposent sur des intégrations analogues du même système 0D.
Le concept d'Optimal Barrel Time (OBT), proposé par Chris Long [12], postule que le canon d'une carabine vibre comme un diapason lors du tir. L'ignition de la charge génère des ondes de choc longitudinales qui font des allers-retours dans l'acier du canon à la vitesse du son (environ 5920 m/s). Pour une précision optimale et pour minimiser l'influence des variations de vitesse (ES) sur la cible, le projectile devrait quitter la bouche lorsque celle-ci est dans un état de déformation minimale ou stable, appelé « nœud ».
Le temps de séjour idéal de la balle dans le canon (en millisecondes) pour un nœud $N$ est estimé empiriquement en fonction de la longueur du canon $L$ (en pouces, de la cuvette de tir à la bouche) : $$OBT = (A \cdot N + B) \cdot L + C \cdot N + D$$ Les coefficients $A, B, C, D$ varient selon la parité du nœud $N$. Notre simulateur calcule ce temps pour les nœuds 1 à 8 et signale une coïncidence éventuelle avec le temps de canon estimé. À noter : l'OBT reste une théorie débattue dans la communauté, distincte du modèle thermodynamique des sections 1–5.