La balistique intérieure étudie les phénomènes physiques et chimiques qui se déroulent à l'intérieur du canon depuis la percussion de l'amorce jusqu'à la sortie du projectile de la bouche du canon. Elle régit la combustion de la poudre, la montée en pression des gaz et l'accélération de la balle.
Les équations ci-dessous présentent le modèle thermodynamique à paramètres localisés (0D), formulation classique de la balistique intérieure académique [1][2][3] sur laquelle reposent aussi les calculateurs comme Gordon's Reloading Tool (GRT) ou QuickLOAD. Les éléments propres à l'implémentation GRT (fonction de forme à 3 phases, partage d'énergie calibré) sont signalés comme tels — ils relèvent d'un développement spécifique en partie non publié [8].
Avertissement. Notre simulateur hérité — une réimplémentation web du modèle de Gordon's Reloading Tool, dont la formulation exacte n'est pas publiée — illustrait les principes et les tendances présentés ici, mais il sous-estime la vitesse (~15–25 %) dans tous les cas testés, et la pression (~25–35 %) en carabine. En pistolet, le pic de pression tombe juste : ne comptez donc sur aucune marge de sécurité systématique côté pression, elle dépend du régime. Il est indicatif et pédagogique (validation menée sur des charges Reload Swiss). Pour des estimations chiffrées, préférez l'Estimateur de balistique intérieure (modèle énergie-efficacité). Dans tous les cas, ne développez jamais une charge réelle sur ces seules valeurs — vérifiez toujours dans les données officielles du fabricant. Méthodologie et chiffres : Validation & limites du modèle.
La revue de référence du domaine [11] classe les modèles de balistique intérieure en deux familles :
Ce que le modèle 0D ne capture pas — et pourquoi la pression reste indicative. Par construction, un modèle à paramètres localisés ne peut représenter ni les ondes de pression ni les non-uniformités d'allumage, c'est-à-dire précisément les phénomènes pouvant causer les défaillances catastrophiques d'un système. La revue [11] l'écrit deux fois, et sans détour : « les phénomènes importants causant les défaillances catastrophiques des systèmes d'arme, comme les ondes de pression ou les non-uniformités du flame-spreading, ne peuvent pas être capturés ». C'est la raison physique de fond pour laquelle la pression issue d'un modèle 0D (le nôtre comme GRT/QuickLOAD) reste une estimation indicative, à ne jamais utiliser comme donnée de sécurité.
Le « trou » des petits calibres. La revue [11] souligne explicitement que la quasi-totalité des modèles publiés — 0D comme CFD — sont conçus pour les moyens et gros calibres (artillerie) et validés sur le canon-étalon fictif AGARD (132 mm), et que trop peu d'efforts ont porté sur les armes de petit calibre (leur recommandation explicite est d'y consacrer davantage de travail). Cela éclaire notre choix : transposer au petit calibre un solveur de combustion hérité de l'artillerie est mal conditionné, ce qui motive notre approche empirique calée sur les données fabricant (modèle énergie-efficacité) plutôt qu'un solveur thermodynamique générique.
À très haute pression (plusieurs milliers de bars) et haute température, la loi des gaz parfaits ($PV = nRT$) n'est plus valide car elle néglige le volume propre des molécules. La balistique intérieure utilise l'équation d'état de Noble-Abel [6], qui introduit une correction de covolume ($\eta$) :
$$P \cdot (V_{ch} - m_c \cdot \eta) = m_c \cdot R \cdot T$$
Dans le cas d'une charge en cours de combustion, le volume disponible pour les gaz ($V_{gaz}$) est réduit par le volume de la poudre solide non encore brûlée et le covolume des gaz déjà produits [1][2] :
$$V_{gaz}(t) = V_0 + A \cdot x(t) - \frac{m_c \cdot (1 - z(t))}{\rho_c} - \eta \cdot m_c \cdot z(t)$$
Où :
La pression moyenne à chaque instant est alors calculée à partir de l'énergie thermique interne $E(t)$ du gaz [1][2] :
$$P(t) = \frac{E(t) \cdot (k - 1)}{V_{gaz}(t)}$$
Où $k$ est le rapport des chaleurs spécifiques du gaz de combustion (coefficient isentropique). On définit aussi la force (impetus) de la poudre $F = R \cdot T_{ex} = Q_{ex} \cdot (k-1)$, mesurée en bombe manométrique [1][3][8] — Corner [2] appelle « potentiel » la grandeur $RT_0/(k-1) = Q_{ex}$ et la situe entre 600 et 1 200 cal/g, soit 2,5 à 5,0 MJ/kg ; les poudres de la base du site vont de 3,2 à 4,5 MJ/kg.
La valeur de $k$ mérite qu'on s'y arrête, parce qu'elle entre directement dans la pression. Corner [2] écrit que $k$ vaut « environ 1,22 pour les propergols de haute énergie, jusqu'à 1,28 pour les propergols froids sans lueur », et que « lorsqu'il faut prendre une moyenne sur tous les types, 1,25 est une valeur commode ».
Or $P = E,(k-1)/V$ : c'est $k-1$ qui multiplie l'énergie, pas $k$. Passer de 1,25 à 1,20 ne change $k$ que de 4 %, mais fait perdre 20 % de la pression calculée à énergie égale. Un écart qui paraît anodin sur la constante ne l'est pas du tout sur le résultat.
Les 39 poudres de la base du site donnent une médiane de 1,229 — au bas de la plage de Corner — et descendent jusqu'à 1,14, en dehors de tout ce qu'il rapporte.
L'énergie thermique du gaz de combustion $E(t)$ évolue selon le principe de conservation de l'énergie (équation de Resal) [1][2][3] :
$$E(t) = E_{chimique}(t) - E_{cinétique}(t) - W_{friction}(t) - Q_{pertes}(t)$$
L'énergie chimique totale libérée par la combustion d'une fraction $z(t)$ est :
$$E_{chimique}(t) = m_c \cdot Q_{ex} \cdot z(t)$$
Où $Q_{ex}$ est la chaleur spécifique d'explosion du propulseur (en $\text{J/kg}$).
Une partie de l'énergie effectue un travail pour accélérer le projectile et la colonne de gaz en expansion derrière lui. Selon l'approximation de Lagrange [1][2], la vitesse des gaz varie linéairement de zéro à la culasse jusqu'à la vitesse du projectile $v$ à sa base. Cela équivaut à ajouter un tiers de la masse de poudre à la masse du projectile (masse effective ; les modèles plus fins emploient le gradient de Pidduck-Kent ou un « facteur de Sebert » [5][8]) :
$$m_{eff} = m_{balle} + \frac{m_c}{3}$$
Corner [2] pose exactement cette hypothèse — //« la vitesse du gaz en tout point est proportionnelle à la distance à la face de culasse », d'où une énergie cinétique du gaz de $\tfrac16 m_c v^2$ et une somme $\tfrac12(m_{balle} + m_c/3)v^2$ — et il en donne la borne de validité : l'approximation ne devient gênante que « lorsque $C/W$ approche l'unité, c'est-à-dire vers 4 000 ft/s ». En arme d'épaule, ce rapport charge/projectile vaut typiquement 0,15 à 0,35 : on est loin du seuil, et l'approximation est ici solide.//
$$E_{cinétique}(t) = \frac{1}{2} m_{eff} \cdot v(t)^2$$
Le modèle GRT applique un facteur de pertes thermiques aux parois du canon (typiquement $\beta_{loss} \approx 15%$) et soustrait le travail mécanique contre les forces de frottement — les coefficients précis de pertes (gaz, chaleur, matériau de balle) sont spécifiques à GRT [8]. L'équation différentielle de l'énergie est donc :
$$\frac{dE}{dt} = m_c \cdot Q_{ex} \cdot \frac{dz}{dt} \cdot (1 - \beta_{loss}) - P(t) \cdot A \cdot v(t)$$
Cette équation n'est pas le bilan complet écrit plus haut. Le bilan de Resal fait apparaître un terme de frottement $W_{friction}$ ; la forme différentielle ci-dessus ne le contient pas. Le frottement n'est pourtant pas absent du modèle : il agit dans l'équation du mouvement (§ 4), sous la forme d'une $P_{friction}$ retranchée à la pression motrice.
Autrement dit, l'énergie que le frottement retire au projectile n'est pas retirée au gaz dans le bilan thermique. C'est une inconsistance énergétique du modèle tel qu'implémenté, à ranger parmi les défauts de partage d'énergie identifiés à la validation — sans qu'on puisse affirmer qu'elle en soit la cause principale.
Corner [2] traite précisément ce point autrement : chez lui, la masse effective n'est pas $m_{balle} + m_c/3$ mais $W_1 + C/3$, où $W_1$ est une masse de projectile déjà corrigée de la rotation, de la résistance au mouvement et du recul de l'arme. Les pertes mécaniques sont donc absorbées dans la masse effective, et le bilan reste fermé.
Une piste chiffrée pour la sous-estimation de pression, à prendre comme hypothèse. Corner traite aussi la perte thermique différemment : il l'absorbe dans un $k$ effectif, par $\bar{k} - 1 = (1+x)(k-1)$ où $x$ est la fraction perdue. Chez lui, la perte thermique augmente $\bar{k}$, donc la pression calculée pour une énergie donnée.
L'implémentation fait l'inverse sur les deux tableaux à la fois : elle retranche 15 % à l'énergie libérée ($\beta_{loss}$), et emploie un $k$ pris au bas de la plage publiée. Les deux effets se composent :
$$0{,}85 \times \frac{1{,}229 - 1}{1{,}25 - 1} \approx 0{,}78$$
soit une pression calculée ~22 % trop basse, du même ordre que les 24 à 36 % que la validation mesure en carabine.
Ce n'est pas une explication établie, et elle ne peut pas l'être seule : elle ne dit rien de la sous-estimation de vitesse, et surtout le cas 9 mm de la validation présente un pic de pression correct avec une vitesse basse — ce qu'aucune erreur d'amplitude ne produit. C'est bien un défaut de forme, comme la validation le conclut. La piste ci-dessus n'en explique au mieux qu'une partie.
La vitesse à laquelle la fraction de poudre brûle ($\frac{dz}{dt}$) dépend de la pression ambiante (loi de combustion de Vieille, $v_{comb} \propto P^{,n}$, avec ici $n \approx 1$) [7] et de la géométrie du grain, modélisée par une fonction de forme $\phi(z)$ [1][2] :
$$\frac{dz}{dt} = Ba \cdot P_{bar} \cdot \phi(z)$$
Où :
Une convention d'unités à ne pas perdre. Le manuel de mesure en bombe manométrique écrit plutôt $\frac{dz}{dt} = Ba \cdot \phi(z) \cdot P/p_0$, où $P/p_0$ est sans dimension et $Ba$ s'exprime alors en $\text{s}^{-1}$. Les deux écritures donnent le même nombre tant que $p_0$ vaut 1 bar, mais elles n'attribuent pas la même unité à $Ba$.
Cette page suit la convention de l'implémentation : le solveur calcule bien Ba * P_bar * phi(z), et les fiches de poudre portent des $Ba$ de 0,21 à 6,6 en $\text{bar}^{-1}\text{s}^{-1}$.
Cette forme linéaire en pression est cohérente avec la définition de la vivacité de GRT : à partir de l'équation de mesure en bombe manométrique [8], on retrouve par simplification exacte $\frac{dz}{dt} = Ba \cdot \phi(z) \cdot P / p_0$.
La géométrie des grains (tubes perforés, paillettes, sphères) fait varier la surface de combustion au cours du temps. GRT modélise cela par un schéma à trois étages [8] (vs deux pour QuickLOAD), avec des coefficients de transition $z_1$ (fin de phase progressive) et $z_2$ (début de phase dégressive secondaire) — formulation propre à GRT, non publiée en détail :
Les formules de $\phi(z)$ ci-dessus sont l'implémentation actuelle de notre outil, une approximation du modèle GRT (non publié). C'est l'un des points identifiés comme limitant la précision — voir l'avertissement en tête et le suivi dans la roadmap du projet.
Le projectile subit une force motrice liée à la pression des gaz et une force de résistance (frottement et forcement dans les rayures) [1][2] :
$$\frac{dv}{dt} = \frac{A \cdot (P(t) - P_{friction})}{m_{eff}}$$
Le comportement dynamique du système est modélisé par un système de 4 équations différentielles ordinaires couplées pour le vecteur d'état $\mathbf{y}(t) = [x, v, z, E]^T$ :
$$\frac{d\mathbf{y}}{dt} = \begin{bmatrix} v \ a(P) \ \frac{dz}{dt}(P, z) \ \frac{dE}{dt}(P, v, \frac{dz}{dt}) \end{bmatrix}$$
Ce système est résolu numériquement par la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4) avec un pas de temps fixe de $1\ \mu\text{s}$ ($10^{-6}\text{ s}$), garantissant une bonne stabilité y compris lors de la montée en pression pic ($P_{max}$). Les codes de référence (p. ex. IBHVG2 [9], modèle STANAG 4367 [10]) reposent sur des intégrations analogues du même système 0D.
Le concept d'Optimal Barrel Time (OBT), proposé par Chris Long [12], postule que le canon d'une carabine vibre comme un diapason lors du tir. L'ignition de la charge génère des ondes de choc longitudinales qui font des allers-retours dans l'acier du canon à la vitesse du son (environ 5920 m/s). Pour une précision optimale et pour minimiser l'influence des variations de vitesse (ES) sur la cible, le projectile devrait quitter la bouche lorsque celle-ci est dans un état de déformation minimale ou stable, appelé « nœud ».
Le temps de séjour idéal de la balle dans le canon (en millisecondes) pour un nœud $N$ est estimé empiriquement en fonction de la longueur du canon $L$ (en pouces, de la cuvette de tir à la bouche) : $$OBT = (A \cdot N + B) \cdot L + C \cdot N + D$$ Les coefficients $A, B, C, D$ varient selon la parité du nœud $N$. Notre simulateur calcule ce temps pour les nœuds 1 à 8 et signale une coïncidence éventuelle avec le temps de canon estimé. À noter : l'OBT reste une théorie débattue dans la communauté, distincte du modèle thermodynamique des sections 1–5.
Page vérifiée. Les attributions à la revue de référence ont été rouvertes, une inconsistance énergétique du modèle est désormais dite, et l'avertissement porte la nuance de régime qui manquait. Détail sur la fiche du dossier balistique interne.