La formule de Le Duc

La formule de Le Duc donne la vitesse d'un projectile dans le canon en fonction du chemin qu'il a parcouru : une hyperbole à deux constantes, établie d'après des mesures. On en déduit la pression qui pousse le projectile tout au long de sa course. L'estimateur de vitesse et l'estimateur de balistique intérieure s'en servent pour tracer leur courbe de pression et de vitesse. Dans l'estimateur, elle ne sert qu'au tracé : la vitesse et la pression maximale y viennent du modèle énergie-efficacité, et la courbe est ajustée sur elles.

La formule est celle du capitaine Leduc, de l'artillerie française. Challéat la donne en 1904 dans la Revue d'artillerie, « sous la forme qui leur a été donnée dans les cours de l'École d'application de Fontainebleau », et indique que Leduc l'a établie d'après la courbe des vitesses en fonction des longueurs d'âme parcourues [2]. La publication de Leduc lui-même n'a pas été trouvée.

Aux États-Unis, Alger la présente en 1911 comme « Captain Le Duc's semi-empirical formula », en usage depuis plusieurs années au Bureau of Ordnance et au polygone d'Indian Head [1]. Patterson en recale les constantes l'année suivante sur des tirs d'essai [3]. Tous deux écrivent « Le Duc », Challéat « Leduc ».

$$v = \frac{a x}{b + x}$$

$x$ est la course parcourue par le projectile depuis sa position de départ, $v$ sa vitesse.

• a est la vitesse limite : celle qu'atteindrait le projectile dans un canon infiniment long, puisque $v$ tend vers $a$ quand $x$ grandit [1].
• b est la course au bout de laquelle la vitesse vaut $a/2$. C'est aussi le double de la course au pic de pression [1].

En faisant varier $a$ et $b$, écrit Alger, la courbe se fait très plate ou très arrondie, de quoi représenter une poudre lente ou une poudre vive [1].

La vitesse dérivée par rapport au temps donne l'accélération ; multipliée par la masse du projectile et divisée par la section de l'âme, elle donne la pression effective sur le culot [1] :

$$\frac{dv}{dt} = v \frac{dv}{dx} = \frac{a^2 b x}{(b + x)^3}$$

$$P = \frac{m}{A} \frac{a^2 b x}{(b + x)^3}$$

où $m$ est la masse du projectile et $A$ la section de l'âme. La pression est maximale pour $x = b/2$ [1] :

$$P_{max} = \frac{4}{27} \frac{m a^2}{A b}$$

À ce point, la vitesse vaut $a/3$. Alger écrit ces formules avec la masse du projectile seule. Nos outils prennent la masse effective $m + C/3$, qui ajoute le tiers de la charge $C$ pour la mise en mouvement des gaz (approximation de Lagrange).

Alger calcule $a$ à partir de l'énergie de la charge, avec une constante propre à la poudre, puis tire $b$ de la vitesse mesurée à la bouche [1]. Nos outils procèdent autrement : ils partent de la vitesse à la bouche $v_0$, au bout de la course totale $L$, et de la pression maximale. La valeur de $b$ est alors la plus petite racine de

$$27 A P_{max} L^2 b = 4 m v_0^2 (b + L)^2$$

et $a = v_0 (b + L)/L$.

L'exemple est celui de l'estimateur de vitesse : .308 Winchester, balle Fox Bullets Classic Hunter de 130 gr, 47,5 gr de RS52, 928 m/s et 3 548 bar sur un canon de 600 mm, charge maximale du guide Reload Swiss 2025 pour cette balle [4]. La course vaut 548,8 mm, canon moins étui. Il vient $a$ = 1 094 m/s et $b$ = 98,4 mm. Le pic de pression tombe à 49 mm de course : la balle n'y a que 365 m/s, 39 % de sa vitesse de bouche. À la bouche, la pression de la courbe n'est plus que de 469 bar, 13 % du maximum.

La pression de la formule est la pression effective sur le culot. Alger précise qu'il faut lui ajouter 1 à 2 « tons » par pouce carré au début de la course, 0,5 à 1 près de la bouche, pour obtenir la pression réelle des gaz derrière le projectile, et que la pression au fond de la chambre, « where the gauges measure it », est supposée plus forte de 15 à 20 % [1]. Sur un canon de 6 pouces de 40 calibres, les manomètres lisent de 6,5 à 15,6 % au-dessus de ses pressions maximales calculées [1]. Patterson, qui juge les manomètres de l'âme si erratiques que la comparaison est difficile, retient 12 % au-dessus de la pression sur l'obus comme valeur sûre pour ce type de rayures et de ceinture [3].

Ancrée sur une pression mesurée en chambre, celle des guides des fabricants et de la C.I.P., la courbe place donc son pic trop haut. Ces chiffres viennent de canons de marine ; l'écart pour une arme de petit calibre n'a pas été mesuré.

Alger éprouve la formule en changeant la longueur du canon à charge égale. Trois canons de 6 pouces de 30, 35 et 40 calibres, tirés avec 24,3 livres de poudre, donnent 2 210, 2 320 et 2 400 pieds par seconde ; la formule, avec une constante tirée d'un seul d'entre eux, en prédit 2 209, 2 318 et 2 403 [1]. Deux canons de 8 pouces raccourcis de 74 et 128 pouces, avec une constante tirée du canon entier, sont prédits à 5 et 23 pieds par seconde près au plus [1].

Transposée d'un calibre à l'autre avec la même poudre, elle réussit moins bien : jusqu'à 5 % d'écart sur des canons de 10 et 13 pouces, avec une constante prise sur un canon de 8 pouces [1]. Patterson écrit qu'avec les constantes d'Alger elle « failed entirely » dans cet usage, et les recale sur des tirs d'essai [3]. Il pose une condition : toute la poudre doit brûler dans le canon, sinon on obtient une fausse valeur de $b$ et la courbe de pression ne représente pas le travail de la poudre [3].

Sur des carabines, le site l'a confrontée à 27 séries d'essais de canon raccourci, de la 7,62×39 à la .338 Lapua Magnum [5]. Ancrée sur la pression C.I.P., elle ne prédit pas mieux qu'un exposant fixe sur la longueur : écart quadratique médian de 41 pieds par seconde sur les séries de référence et de 37 sur celles de validation, contre 41 et 42. Elle fait mieux là où la vitesse plafonne, en 6 mm et 6,5 Creedmoor au-delà de 24 pouces, grâce à sa forme d'hyperbole : 52 et 34 pieds par seconde, contre 72 et 59 [5].

Alger illustre la méthode sur un canon de 12 pouces de 50 calibres : 2 950 pieds par seconde après 42 pieds de course, $b$ = 15,2 pieds, pression maximale de 16,96 tons par pouce carré [1]. Sa planche montre la même forme que la figure de la .308 : une pression qui culmine tôt, à la moitié de $b$, puis décroît lentement jusqu'à la bouche.

• Toute la poudre doit brûler dans le canon [3].
• La pression est celle du culot, pas celle de la chambre, où la mesurent les capteurs (voir plus haut).
• La formule donne une pression nulle au départ, pour $x = 0$. Or le projectile ne se met en mouvement qu'une fois franchie la pression de forcement : le début de la courbe ne la représente pas.
• Deux constantes ne fixent qu'une forme. Pour une arme de petit calibre, la position du pic n'a été comparée à aucune mesure.
• Nos outils prennent pour course la longueur du canon moins celle de l'étui, sans tenir compte de la profondeur de sertissage.

1. P. R. Alger — « The Le Duc Velocity Formula », Proceedings of the United States Naval Institute 37 (2), 1911, p. 535-540. Extrait hébergé.
2. J. Challéat — « Théorie des affûts à déformation, à lien élastique et bêche de crosse », Revue d'artillerie 65, 1904, p. 184-185 et 194. Gallica.
3. G. W. Patterson — « The Le Duc Ballistic Formulae », Proceedings of the United States Naval Institute 38 (3), 1912, p. 885-892. Extrait hébergé.
4. Reload Swiss — Ladedaten / Reloading Data, édition 2025, Nitrochemie Wimmis.
5. Tireur.org — « Muzzle velocity versus barrel length: four predictors tested on 27 cut-down series », note de travail, 2026. GitHub.

• Balistique intérieure — le modèle thermodynamique complet.
• Validation et limites du modèle.
• Estimateur de vitesse — courbe de Le Duc ancrée sur vos valeurs.
• Estimateur de balistique intérieure.

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