La visée au dioptre

La visée au dioptre (ou visée fermée) est un système de visée mécanique (ouverte) de haute précision. Contrairement à la hausse et au guidon classiques (visée ouverte), le dioptre utilise un œilleton (un petit trou) placé très près de l'œil du tireur. Ce système est particulièrement utilisé en tir sportif de précision (notamment dans les disciplines ISSF comme la carabine à 10m, 50m et 300m).

Le fonctionnement du dioptre repose sur la profondeur de champ et le comportement de l'œil humain :

1. L'œilleton (le dioptre) : Placé très près de l'œil (souvent à quelques centimètres), le trou de l'œilleton agit comme un diaphragme d'appareil photo. Plus le trou est petit, plus la profondeur de champ augmente, ce qui permet à l'œil d'avoir le guidon et la cible (presque) nets simultanément.
2. Le centrage automatique de l'œil : Lorsque l'œil regarde à travers un petit trou, il se place spontanément dans l'axe de l'œilleton. Hors de l'axe, le bord du trou masque (vignette) une partie du champ et l'image s'assombrit d'un côté ; le système oculo-moteur corrige ce déséquilibre sans effort conscient. Le tireur n'a donc pas à “chercher” le centre du dioptre : il suffit de garder une couronne de lumière régulière tout autour de l'œilleton.
3. Le guidon tunnel : À l'avant de l'arme, le guidon est généralement protégé par un tunnel. À l'intérieur, on place un “insert” (le plus souvent un anneau, ou un plot rectangulaire).

En cible, l'image que le tireur doit obtenir est une série de cercles concentriques :

• Le bord du tunnel (optionnel)
• L'anneau du guidon (l'insert)
• Le visuel de la cible (la zone noire)

La perfection de la visée réside dans l'alignement de ces cercles pour qu'il y ait un “blanc” égal tout autour du visuel noir de la cible. L'œil perçoit les asymétries de manière très précise, ce qui rend cette visée incroyablement redoutable.

Toute l'efficacité du dioptre repose sur quelques principes d'optique géométrique et physiologique. Comprendre ces mécanismes aide à régler son matériel (diamètre d'iris, choix du guidon, focalisation) de manière raisonnée plutôt qu'empirique.

Le problème fondamental d'un viseur mécanique est que trois plans très éloignés doivent être perçus simultanément : la hausse (le dioptre, à quelques centimètres), le guidon (à ~70–90 cm) et la cible (à 10, 50 ou 300 m). Un œil ne peut accommoder (faire la mise au point) que sur un seul plan à la fois ; les autres apparaissent floues.

Le flou d'un point hors du plan de netteté forme sur la rétine un petit disque (le cercle de confusion). Son diamètre est proportionnel à celui de l'ouverture qui laisse passer la lumière. En réduisant cette ouverture, on rétrécit le faisceau de rayons : tous les cercles de confusion diminuent et la profondeur de champ — la plage de distances perçue comme nette — augmente.

Pour une ouverture circulaire placée devant l'œil, le flou angulaire d'un objet mal mis au point vaut approximativement :

Flou angulaire (rad) ≈ Diamètre de l'ouverture (m) × Défocalisation (dioptries)

La défocalisation est l'écart, exprimé en dioptries (l'inverse de la distance en mètres), entre l'objet visé et le plan sur lequel l'œil accommode.

À propos de la « minute d'arc ». Dans toute cette section, les flous et les acuités sont exprimés en minutes d'arc : une minute d'arc vaut 1/60 de degré, soit environ 0,29 mrad (à 50 m, elle couvre ~1,5 cm). C'est exactement la même unité angulaire que la minute d'angle (MOA) employée pour les corrections de tir — voir Minute d'angle (MOA) et milliradian (MRAD), qui définit formellement la mesure angulaire et distingue ses usages : réglage, diamètre et rayon angulaires (taille apparente), pouvoir séparateur (résolution). La différence n'est qu'un usage : ici la minute d'arc mesure la finesse de l'image (flou optique, acuité de l'œil), et non un réglage de hausse.

Exemple : l'œil fait le point sur le guidon à 0,8 m (soit 1/0,8 = 1,25 dioptrie) ; la cible est à 50 m (0,02 dioptrie). La défocalisation de la cible est donc de 1,23 dioptrie.

• Avec un œilleton de 1,2 mm, le flou de la cible vaut 0,0012 × 1,23 ≈ 1,5 × 10⁻³ rad, soit ≈ 5 minutes d'arc.
• Avec un œilleton de 0,8 mm, il tombe à ≈ 3,4 minutes d'arc.

Le petit trou divise donc le flou par un facteur proche du rapport des diamètres — c'est exactement le rôle du dioptre.

On pourrait croire qu'il suffit de fermer l'iris au maximum. Ce n'est pas le cas : en dessous d'un certain diamètre, la nature ondulatoire de la lumière prend le dessus. Une petite ouverture diffracte : même une source ponctuelle parfaitement mise au point s'étale en une tache (la tache d'Airy), dont le rayon angulaire vaut :

Rayon angulaire de diffraction (rad) ≈ 1,22 × λ / D

où λ est la longueur d'onde de la lumière (~550 nm en lumière verte, le maximum de sensibilité de l'œil) et D le diamètre de l'ouverture.

Ce flou de diffraction augmente quand l'ouverture diminue — soit l'inverse exact de la profondeur de champ :

• Avec D = 1,2 mm : ≈ 1,9 minute d'arc.
• Avec D = 0,8 mm : ≈ 2,9 minutes d'arc.
• Avec D = 0,6 mm : ≈ 3,8 minutes d'arc.

Il existe donc un compromis : un trou trop grand laisse l'image floue par manque de profondeur de champ ; un trou trop petit la dégrade par diffraction (et l'assombrit). Le diamètre optimal est celui qui équilibre les deux effets, soit approximativement :

D optimal ≈ √(1,22 × λ / Défocalisation)

Avec les valeurs de l'exemple ci-dessus, on obtient D ≈ 0,7 à 1,1 mm, ce qui correspond très exactement aux réglages d'iris recommandés en compétition. En pratique, on ouvre un peu plus par faible luminosité (pour conserver assez de lumière et de contraste) et on referme par forte lumière.

Astuce de mise au point : plutôt que d'accommoder sur le guidon, beaucoup de tireurs font le point sur un plan intermédiaire (situé au milieu en dioptries entre le guidon et la cible). On répartit ainsi la défocalisation entre les deux plans, on divise par deux le flou maximal, et l'ouverture optimale remonte vers ~1 mm — un réglage plus lumineux et plus confortable.

Le pouvoir séparateur d'un œil sain est d'environ 1 minute d'arc : c'est l'écart angulaire minimal entre deux points pour les voir distincts. Il est lui aussi limité par la diffraction au niveau de la pupille et par la densité des cellules de la rétine (les cônes de la fovéa). Cela explique pourquoi un flou de quelques minutes d'arc reste tolérable : tant que les défauts restent du même ordre que la résolution intrinsèque de l'œil, l'image perçue demeure nette.

Si l'œil ne distingue pas deux points séparés de moins d'une minute d'arc, il sait en revanche détecter une asymétrie ou un désalignement avec une finesse bien supérieure — de l'ordre de quelques secondes d'arc. Ce phénomène, appelé hyperacuité (ou acuité vernier ; décrit par G. Westheimer dès 1975), est le véritable secret de la visée au dioptre.

Le tireur n'estime pas une distance absolue : il équilibre des épaisseurs de blanc. Le cerveau compare la largeur de la couronne claire en haut, en bas, à gauche et à droite, et signale le moindre écart. C'est pourquoi la juxtaposition de cercles concentriques (œilleton, anneau du guidon, visuel noir) est si redoutable : elle transforme un problème de pointage en un problème de symétrie, que le système visuel résout avec une précision dix à vingt fois supérieure à son simple pouvoir séparateur.

Au-delà de la symétrie, la largeur de cette couronne de blanc a elle aussi un optimum. La grandeur que le tireur règle réellement — en choisissant le diamètre du guidon annulaire — est l'épaisseur apparente du blanc entre le visuel noir et le bord intérieur de l'anneau :

• trop fine, les deux bords se rapprochent au point que leurs flous se recouvrent : l'œil ne distingue plus l'écart et ne juge plus la concentricité ;
• trop large, le visuel « flotte » au centre et le repère qui guide le centrage perd de sa sensibilité.

D'autres effets optiques entrent en jeu :

• Luminosité. L'énergie lumineuse traversant l'œilleton varie comme le carré de son diamètre : refermer l'iris de 1,2 à 0,8 mm fait chuter la lumière de plus de moitié. D'où le compromis permanent entre profondeur de champ et clarté de l'image, et l'usage de filtres ou d'iris réglables selon l'éclairage du stand.
• Contraste. L'œil localise un bord d'autant mieux qu'il est contrasté. Les filtres colorés (jaune, gris, polarisant) ne servent pas à « voir plus clair » mais à augmenter le contraste du visuel noir sur le fond, et à réduire l'éblouissement et le mirage.
• Irradiation. Sur un fond clair, un objet sombre paraît plus petit qu'il ne l'est (irradiation ; voir L'œil et la visée). En plein soleil, le visuel noir « maigrit » et l'anneau de blanc paraît plus large ; par temps gris, plus étroit. À réglage identique, l'image de visée change donc avec l'éclairage (voir la règle du pouce ci-dessous).
• Accommodation et repos de l'œil. En visée ouverte, l'œil change sans cesse de mise au point entre hausse, guidon et cible, ce qui fatigue le muscle ciliaire. Le dioptre, en élargissant la profondeur de champ, réduit ces allers-retours d'accommodation : l'œil reste détendu plus longtemps, ce qui améliore la régularité sur une série longue.

En résumé, la brillance et la netteté se règlent au diaphragme arrière (iris du dioptre, filtres colorés), sans franchir l'ouverture optimale (voir « L'ouverture optimale » plus haut) ; le guidon, lui, ne fixe que la géométrie de l'anneau de blanc. On n'ajuste donc pas la lumière en changeant de guidon, ni la géométrie de l'image de visée en jouant sur l'iris.

Lorsque la profondeur de champ ne suffit plus (presbytie, grande distance), on ajoute une lentille correctrice dans le porte-filtre du dioptre. Sa puissance se mesure en dioptries : une lentille de +0,25 à +0,5 dioptrie déplace légèrement le plan de netteté de l'œil vers le guidon ou la cible, ce qui compense une accommodation insuffisante. Ce n'est pas un grossissement (interdit ou limité par les règlements ISSF) mais une simple correction de focalisation, calculée à partir de la distance réelle œil–guidon du tireur.

Pour calculer de combien le tir va se déplacer sur la cible pour un clic, on utilise le théorème de Thalès. La formule relie le déplacement du dioptre, la longueur de la ligne de mire et la distance de la cible.

Formule : Déplacement cible = (Valeur du clic dioptre × Distance cible) / Ligne de mire où :

• Déplacement cible : en mm
• Valeur du clic dioptre : déplacement mécanique réel du dioptre pour un clic (ex: 0,02 mm à 0,04 mm selon les modèles)
• Distance cible : en mm (ex: 50 m = 50 000 mm)
• Ligne de mire : distance entre le guidon et le dioptre en mm (ex: 800 mm)

Exemple pour un dioptre déplaçant de 0,04 mm par clic, une ligne de mire de 800 mm, à 50 mètres (50 000 mm) : (0,04 × 50000) / 800 = 2,5 mm par clic en cible

Le choix du diamètre du guidon annulaire dépend de la taille du visuel de la cible et de la longueur de la ligne de mire. L'angle sous lequel on voit le guidon (son diamètre angulaire, défini dans MOA et MRAD) se projette sur la cible sous la forme d'un cercle qui entoure le visuel. Le “blanc” perçu doit correspondre à la largeur de blanc optimale de chaque tireur (voir « Le centrage par symétrie » plus haut) : ni trop fin, ni trop large.

Pour obtenir le diamètre de ce cercle projeté en cible (en mm) : Formule de proportionnalité (Thalès) : Diamètre projeté = (Diamètre de l'insert × Distance cible) / Distance œil-guidon

Cette relation permet de choisir le bon insert (ex: 3,8 mm, 4,0 mm) lorsque l'on change de distance (passage de 50m à 100m) ou lorsque l'on ajoute un tube prolongateur de ligne de mire (bleep tube), ce qui éloigne le guidon de l'œil et réduit donc son diamètre angulaire.

• Précision : Largement supérieure à une visée ouverte classique, le dioptre permet d'atteindre des niveaux de précision proches d'une lunette sur des cibles fixes et contrastées.
• Réduction de la fatigue oculaire : Contrairement à la visée ouverte où l'œil doit faire le point (l'accommodation) alternativement entre la hausse, le guidon et la cible, le dioptre permet de se concentrer uniquement sur le guidon et la cible grâce à la profondeur de champ accrue.
• Fiabilité mécanique : Les clics des dioptres de compétition (comme les modèles Anschütz, Centra, ou Gehmann) sont extrêmement fins et répétables.

• Luminosité : Le petit trou de l'œilleton réduit considérablement la quantité de lumière qui atteint l'œil. C'est pourquoi on utilise parfois des filtres de couleur ou des iris réglables pour s'adapter à la luminosité ambiante.
• Acquisition de cible : Ce n'est pas un système fait pour le tir rapide ou sur cible mobile. L'acquisition est plus lente qu'avec un point rouge ou une visée ouverte.
• Champ de vision : Très restreint par l'œilleton.

• L'iris réglable : Remplace l'œilleton fixe. Il permet de faire varier le diamètre du trou en tournant une bague, afin de s'adapter parfaitement à la luminosité du stand et de moduler la profondeur de champ.
• Les filtres de couleur : (Jaune, vert, gris…) intégrés ou ajoutés à l'iris, ils permettent d'augmenter le contraste de la cible selon l'éclairage.
• Les lentilles (Eagle Eye) : Utilisées pour grossir légèrement le visuel sans être une “lunette” (leur grossissement est généralement limité par le règlement, par exemple +0.3 ou +0.5 dioptries).
• Les guidons réglables : Inserts dont le diamètre intérieur et extérieur peut varier.

L'idée directrice est que le tireur ne règle pas une « quantité de lumière » mais une information de centrage, et que la dépendance à l'éclairage s'explique par l'irradiation (un visuel noir paraît plus petit sur fond clair), non par le flux lumineux.

On travaille en variables angulaires (l'œil voit des angles ; la géométrie de l'arme étant fixe, un millimètre de guidon correspond à un angle constant). Le diamètre angulaire $\delta$ d'un objet de taille $d$ à la distance $D$ vaut $\delta \approx d/D$ (en radians). Voir la page dédiée pour la définition mathématique exacte du diamètre angulaire et son lien avec le MOA/MRAD.

L'invariant perceptif que le tireur cherche à maintenir est $w = w^\star$, avec $$ w = \tfrac12\bigl(\alpha - \beta_{\mathrm{app}}\bigr), \qquad \beta_{\mathrm{app}}(L) = \beta - 2i(L), $$ d'où l'on tirera la loi de commande $\alpha^\star(L) = \beta + 2w^\star - 2i(L)$, à fonder dans ce qui suit.

Le premier point clé est de comprendre comment la lumière se traduit en signal pour le cerveau. L'éclairement rétinien (en trolands, Td) vaut $T = L A_p$, où $A_p = \pi a^2/4$ est l'aire de la pupille effective (en mm²). Cette aire correspond au plus petit diamètre entre l'iris du dioptre et la pupille naturelle de l'œil, corrigée par l'effet de Stiles–Crawford (les rayons marginaux sont moins efficaces) $\eta(r) = 10^{-\rho r^2}$ :

$$ A_p^{\text{eff}} = \int_0^{a/2} 10^{-\rho r^2}\thinspace 2\pi r\thinspace\mathrm{d}r = \frac{\pi}{\rho\ln 10}\Bigl(1 - 10^{-\rho a^2/4}\Bigr). $$

Le nombre de photons captés sur une aire angulaire rétinienne $\Omega$ (en rad²) pendant le temps d'intégration $\tau$ (en secondes) est proportionnel à $N \propto T \Omega \tau$. Selon la statistique de Poisson, le rapport signal sur bruit (SNR) pour discriminer un contraste $C$ (sans dimension) suit le modèle de Rose :

$$ \mathrm{SNR} = C\sqrt{N} \propto C \sqrt{L A_p^{\text{eff}} \tau}. $$

Le système « iris arrière + œil » est, en première approximation, un imageur limité par deux défauts optiques majeurs :

• La diffraction : générée par le petit trou du dioptre, elle crée une tache de largeur angulaire $\theta_{\mathrm{diff}}$ (en rad) $\approx 1{,}22 \lambda/a$. Plus le trou est petit, plus ce flou est grand.
• Les aberrations : principalement l'aberration sphérique du cristallin, elles ajoutent un flou croissant avec l'ouverture $\theta_{\mathrm{ab}}$ (en rad) $\approx k a^2$.

La largeur quadratique totale du flou optique (la réponse impulsionnelle de l'œil) est donc :

$$ \sigma(a) = \sqrt{\Bigl(\tfrac{1{,}22 \lambda}{a}\Bigr)^2 + (k a^2)^2}. $$

Ce flou est minimal pour une ouverture optimale obtenue en résolvant $\mathrm{d}\sigma/\mathrm{d}a = 0$, soit :

$$ a_{\mathrm{opt}} = \Bigl(\tfrac{(1{,}22 \lambda)^2}{2k^2}\Bigr)^{1/6}. $$

Conclusion : Cette valeur optimale se situe aux alentours de $1{,}1$ mm pour un œil humain moyen, ce qui justifie quantitativement les réglages empiriques conseillés aux tireurs (voir « L'ouverture optimale » plus haut). De plus, un diaphragme petit favorise la profondeur de foyer ($\mathrm{DOF} \propto 1/a$), incitant à ne jamais trop ouvrir.

La perception de la lumière par l'œil (réponse photopique locale) n'est pas linéaire mais “compressive” : l'œil s'éblouit et sa sensibilité baisse. Elle est bien décrite par la fonction de Naka–Rushton :

$$ R(L) = R_{\max} \frac{L^n}{L^n + L_{50}^n}. $$

Le contraste de réponse à une petite variation de luminance $\Delta L$ est $\Delta R \approx R'(L) \Delta L$. Pour de fortes lumières ($L \gg L_{50}$), la dérivée $R'(L)$ est proportionnelle à $L^{-1}$, ce qui donne une variation perçue $\Delta R \propto \Delta L / L$.

C'est la fameuse loi de Weber : elle confirme que c'est le contraste relatif $\Delta L / L$, et non la différence absolue $\Delta L$, qui compte pour le système visuel du tireur.

Pourquoi le visuel de la cible semble-t-il rétrécir en plein soleil ? Modélisons le bord du visuel : il passe du noir ($L(x) = 0$ pour $x < 0$) au blanc ($L(x) = L$ pour $x > 0$). L'image perçue par la rétine $I(x)$ est “floutée” par l'œil (convolution avec sa fonction d'étalement $\ell$) :

$$ I(x) = (\ell * L)(x) = L \Phi\Bigl(\tfrac{x}{\sigma}\Bigr). $$

Ici, $\Phi$ est la fonction de répartition (par exemple, la fonction d'erreur $\mathrm{erf}$ pour un flou gaussien). Le système visuel “détecte” le bord là où ce signal franchit un seuil de sensibilité interne $I^\star$ (en cd·m⁻²). Comme vu précédemment, la réponse de l'œil est compressive : ce seuil $I^\star$ est une constante physiologique indépendante de l'éclairage ambiant $L$.

La position apparente du bord, $x_e(L)$, vérifie donc $L \Phi(x_e/\sigma) = I^\star$, soit :

$$ x_e(L) = \sigma \Phi^{-1}\Bigl(\frac{I^\star}{L}\Bigr). $$

La mécanique de l'irradiation : Quand le soleil sort, $L$ augmente fortement. Le ratio $I^\star/L$ diminue, et la fonction inverse $\Phi^{-1}$ renvoie une valeur de plus en plus négative. Le bord perçu glisse donc de plus en plus vers le noir : le cercle noir “rétrécit”.

Ce rétrécissement par bord, $i(L) = -x_e(L)$, est une fonction croissante et concave. Pour un profil gaussien à forte luminance, l'approximation donne :

$$ i(L) \approx \sigma\sqrt{2\ln(L/I^\star)}, $$

soit une correction qui croît comme $\sqrt{\ln L}$ — d'où une courbe qui s'aplatit aux fortes lumières.

En reportant ce phénomène dans l'invariant géométrique du tireur (qui veut garder un anneau de blanc constant $w^\star$), on obtient la loi dictant la taille idéale du guidon :

$$ \boxed{ \alpha^\star(L) = \beta + 2w^\star - 2 i(L) } $$

En faisant un développement limité, on retrouve une forme linéarisée simple : $\alpha^\star \approx A - B\ln L$. C'est la démonstration mathématique de la règle du pouce : le diamètre optimal du guidon décroît avec la lumière, mais de façon logarithmique (l'effet stagne en plein soleil).

Comment le tireur évalue-t-il le centre $\mathbf{c}$ de la cible ? Le cerveau utilise les bords circulaires à sa disposition. L'Information de Fisher $\mathcal{I}$ sur la position du centre (qui quantifie la précision théorique maximale) pour un bord de contraste $C$ de rayon $r$ est :

$$ \mathcal{I}(\mathbf{c}) \propto \frac{N C^2}{\sigma^2}\oint (\nabla\mu)^2\thinspace\mathrm{d}s \sim \frac{N C^2 r}{\sigma^3}. $$

D'après la borne de Cramér–Rao, la variance (l'erreur de pointé) est inversement proportionnelle à cette information :

$$ \operatorname{Var}(\hat{\mathbf{c}}) \ge \mathcal{I}^{-1} \propto \frac{\sigma^3}{N C^2 r}. $$

Le tireur utilise deux bords (le visuel noir et l'insert du guidon). Leurs informations s'additionnent. Cependant :

• Si l'anneau de blanc $w$ est trop fin : il devient comparable au flou $\sigma$ de l'œil. Les zones de transition se chevauchent, les gradients de lumière se neutralisent mutuellement, et l'information chute brutalement.
• Si l'anneau $w$ est trop large : le visuel noir “flotte” au centre, la courbure relative est moins discriminante et la capacité du cerveau à juger la concentricité décroît.

Il existe donc un compromis mathématique donnant une information de Fisher maximale :

$$ w^\star = \arg\max_w \mathcal{I}_{\text{centrage}}(w) \approx c_1 \sigma. $$

La constante $c_1$ est de l'ordre de quelques unités. La précision atteinte, vertigineuse (quelques secondes d'arc), est la définition même de l'hyperacuité vernier. Surtout, on constate que la taille idéale de l'anneau blanc ($w^\star$) n'est pas due à la géométrie de la cible, mais qu'elle est proportionnelle au flou optique interne du tireur ($\sigma$) !

Le tireur parfait (observateur idéal) cherche à minimiser son erreur de visée en réglant simultanément le diamètre de son iris arrière ($a$) et de son guidon ($\alpha$). En injectant toutes les équations précédentes, l'erreur de visée $\sigma_{\mathrm{aim}}^2$ devient :

$$ \sigma_{\mathrm{aim}}^2(\alpha, a, L) = \frac{\sigma(a)^3}{L a^2 \tau C^2 r} g\Bigl(\frac{w(\alpha, L)}{\sigma(a)}\Bigr), $$

où la fonction $g \ge 1$ agit comme une pénalité chaque fois que l'anneau de blanc s'écarte de son optimum $w^\star$. En résolvant les dérivées partielles pour trouver le minimum absolu de cette erreur, on découvre deux comportements conjoints :

1. L'iris : On doit fermer l'œilleton en pleine lumière (pour gagner en netteté sans perdre l'information de brillance utile, car $L$ est grand) et on doit ouvrir en faible lumière (pour capter assez de photons $N$).
2. Le guidon : Une fois l'iris ajusté sur un point $a^\star(L)$, la loi de commande s'applique implacablement :

$$ \alpha^\star(L) = \beta + 2 c_1 \sigma\bigl(a^\star(L)\bigr) - 2 i(L). $$

Ce modèle unifié, reposant sur la théorie de la détection du signal, prouve que les réglages empiriques intuitifs des compétiteurs obéissent strictement à des impératifs physiologiques et optiques d'optimisation.

L'impact d'un coup se modélise par une loi normale bivariée dans l'espace angulaire $\mathbf{X} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \sigma_{\mathrm{tot}}^2 \mathbf{I})$, avec $\sigma_{\mathrm{tot}}$ (en rad) donné par :

$$ \sigma_{\mathrm{tot}}^2 = \sigma_{\mathrm{aim}}^2 + \sigma_{\mathrm{tenue}}^2 + \sigma_{\mathrm{munition}}^2 + \sigma_{\mathrm{arme}}^2 + \dots $$

Le score espéré par coup est la convolution de cette densité avec la fonction de cotation $s(r)$ de la cible :

$$ \mathbb{E}[s] = \int_0^\infty s(r)\thinspace \frac{r}{\sigma_{\mathrm{tot}}^2}\exp\Bigl(-\frac{r^2}{2\sigma_{\mathrm{tot}}^2}\Bigr)\thinspace\mathrm{d}r, $$

fonction strictement décroissante de $\sigma_{\mathrm{tot}}$. Minimiser $\sigma_{\mathrm{aim}}$ via la loi ci-dessus maximise donc l'espérance de score. Réserve importante : $\sigma_{\mathrm{aim}}$ n'est qu'un terme parmi d'autres ; attribuer un gain de score au seul réglage du guidon, sans groupe témoin, reste fragile — l'apprentissage du tireur est un facteur confondant majeur.

Les paramètres du modèle $\theta = (\sigma, I^\star, c_1, \beta)$ — ou, sous forme réduite, $(A, B)$ de $\alpha^\star \approx A - B\ln L$ — s'estiment à partir de couples observés $(L_i, \alpha_i)$ par moindres carrés non linéaires pondérés par le score :

$$ \hat\theta = \arg\min_\theta \sum_i u_i \bigl(\alpha_i - \alpha^\star(L_i; \theta)\bigr)^2, \qquad u_i \propto \text{(poids de séance)}. $$

Comme $\sigma$, $I^\star$ et $w^\star$ dépendent de l'œil, de l'âge et de l'arme, aucune courbe universelle n'est légitime : chacun doit calibrer la sienne à l'entraînement. On recommande, pour la rigueur : validation croisée par séances, report d'intervalles de confiance sur $(A, B)$, et calibration strictement individuelle.

• H. von Helmholtz, Handbuch der physiologischen Optik, Voss, Leipzig, 1867 (irradiation, §18).
• G. T. Fechner, Elemente der Psychophysik, Breitkopf & Härtel, Leipzig, 1860 (loi de Weber–Fechner).
• W. S. Stiles, B. H. Crawford, « The luminous efficiency of rays entering the eye pupil at different points », Proc. R. Soc. Lond. B, 112 (1933), 428–450.
• A. Rose, « The sensitivity performance of the human eye on an absolute scale », J. Opt. Soc. Am., 38 (1948), 196–208.
• F. W. Campbell, D. G. Green, « Optical and retinal factors affecting visual resolution », J. Physiol., 181 (1965), 576–593.
• K. I. Naka, W. A. H. Rushton, « S-potentials from colour units in the retina of fish », J. Physiol., 185 (1966), 536–555.
• G. Westheimer, « Editorial: Visual acuity and hyperacuity », Investigative Ophthalmology, 14 (1975), 570–572.
• W. N. Charman, J. Whitefoot, « Pupil diameter and the depth-of-field of the human eye », Optica Acta, 24 (1977), 1211–1216.
• W. S. Geisler, « Sequential ideal-observer analysis of visual detection », Psychological Review, 96 (1989), 267–314.

• L'œil et la visée — propriétés optiques de l'œil (accommodation, profondeur de champ, défauts visuels) appliquées au tir
• Simulateur de visée ISSF — outil interactif modélisant la visée
• Minute d'angle (MOA) et milliradian (MRAD) — définition formelle de la mesure angulaire : diamètre/rayon angulaire, pouvoir séparateur, réglage
• Rappels de probabilités et statistiques — loi normale et de Rayleigh, Poisson/SNR, information de Fisher, moindres carrés : les outils du modèle ci-dessus