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Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

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technique:integration_rk4 [2026/08/12 13:03] – References confrontees : McDrag n estime que la trainee a incidence nulle et McGyro que le facteur de stabilite ; journal et pages ajoutes pour Runge et Kutta Lepigeontechnique:integration_rk4 [2026/08/12 13:40] (Version actuelle) – Le traite de reference ouvert : critere reel du 6-DOF (forte incidence, pas etude de stabilite), integrateur du BRL a pas variable, RK4 est une famille Lepigeon
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 $$ y_{n+1} = y_n + \frac{\Delta t}{6} \left( k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4 \right) $$ $$ y_{n+1} = y_n + \frac{\Delta t}{6} \left( k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4 \right) $$
  
-Le poids double accordé à $k_2$ et $k_3$, les évaluations centrales, revient à privilégier le milieu du pas — c'est ce qui fait la précision de la formule. L'erreur commise sur un pas isolé décroît comme $\Delta t^5$ ; c'est son accumulation sur l'ensemble des pas d'une trajectoire qui ramène la méthode à l'ordre 4.+Le poids double accordé à $k_2$ et $k_3$, les évaluations centrales, revient à privilégier le milieu du pas — c'est ce qui fait la précision de la formule. Elle n'est d'ailleurs pas la seule possible : le système d'équations qui définit une méthode de Runge-Kutta jusqu'à l'ordre 4 est **sous-déterminé**, une des constantes pouvant être choisie arbitrairement, si bien que plusieurs formules d'ordre 4 coexistent. Celle donnée ici est la formule classique de Kutta ; la variante de Gill en est une autre, longtemps préférée pour son moindre encombrement en mémoire. L'erreur commise sur un pas isolé décroît comme $\Delta t^5$ ; c'est son accumulation sur l'ensemble des pas d'une trajectoire qui ramène la méthode à l'ordre 4.
  
 ![Panneau A : cinq pas d'Euler de 0,1 s décrochent visiblement de la solution exacte, toujours du même côté. Panneau B : dans le tout premier pas, les quatre pentes sondées par RK4 — k₂ et k₃ sont prises au même instant, sur deux estimations différentes de l'état — et le point d'arrivée, confondu avec la courbe exacte.](technique:euler_vs_rk4.svg?640) ![Panneau A : cinq pas d'Euler de 0,1 s décrochent visiblement de la solution exacte, toujours du même côté. Panneau B : dans le tout premier pas, les quatre pentes sondées par RK4 — k₂ et k₃ sont prises au même instant, sur deux estimations différentes de l'état — et le point d'arrivée, confondu avec la courbe exacte.](technique:euler_vs_rk4.svg?640)
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 ### Et le 6-DOF ? ### Et le 6-DOF ?
  
-Un modèle **6-DOF** suit en plus l'attitude du projectile : son vecteur d'état compte douze variables — trois de position, trois de vitesse, trois d'orientation et trois de vitesse angulaire. Il ne réclame plus un simple coefficient de traînée mais un jeu complet de coefficients aérodynamiques : portance, moment de tangage, amortissement en tangage et en roulis, effet Magnus. Ce jeu complet s'obtient par réduction de tirs en tunnel balistique ou d'essais en soufflerie. Les codes semi-empiriques que les tireurs connaissent de nom n'en fournissent chacun qu'une pièce : **McDrag**, publié par Robert L. McCoy en 1981, estime le seul coefficient de traînée à incidence nulle, et **McGyro** (1986) le facteur de stabilité gyroscopique et le pas de rayure nécessaire. Ni l'un ni l'autre ne rend la portance, les amortissements ou l'effet Magnus.+Un modèle **6-DOF** suit en plus l'attitude du projectile : son vecteur d'état compte douze variables — trois de position, trois de vitesse, trois d'orientation et trois de vitesse angulaire. Il ne réclame plus un simple coefficient de traînée mais un jeu complet de coefficients aérodynamiques : portance, moment de tangage, amortissement en tangage et en roulis, effet Magnus. Ce jeu complet s'obtient par réduction de tirs en tunnel balistique ou d'essais en soufflerie. Les codes semi-empiriques que les tireurs connaissent de nom n'en fournissent chacun qu'une pièce : **McDrag**, publié par Robert L. McCoy en 1981, estime le seul coefficient de traînée à incidence nulle, et **McGyro** le facteur de stabilité gyroscopique et le pas de rayure nécessaire. Ni l'un ni l'autre ne rend la portance, les amortissements ou l'effet Magnus.
  
-Ils ne sont publiés pour presque aucune balle du commerce : c'est ce qui cantonne le 6-DOF à l'étude de la stabilité et de la dispersion plutôt qu'à la prévision courante de trajectoire, où un modèle point-masse correctement renseigné fait pratiquement aussi bien. L'algorithme d'intégration, lui, ne change pas : RK4 s'applique à un vecteur de douze composantes exactement comme à un vecteur de six.+Ils ne sont publiés pour presque aucune balle du commerce. Mais la raison de fond tient au vol lui-même, et McCoy l'énonce sans détour : **le 6-DOF n'est pas nécessaire au travail courant de balistique extérieure**. Tant que l'incidence totale reste faible sur tout le parcours, un modèle point-masse est « souvent suffisamment exact à toutes fins pratiques ». Le 6-DOF s'impose dès que le projectile vole à **forte incidence** — un obus tiré à 70° de site, une balle lâchée en travers du vent relatif d'un avion. En tir tendu, la .308 de 168 gr qu'il prend en exemple ne dépasse jamais 5° de tangage-lacet : le cas ne relève pas du 6-DOF. 
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 +L'intégrateur, lui, reste de la même famille sans être identique. Le programme 6-DOF du laboratoire de recherche balistique américain emploie la variante de Gill, avec un pas de temps **variable**, réévalué en continu sur la période du cycle de lacet ; une cinquantaine de pas par cycle sont nécessaires pour obtenir quatre à cinq chiffres significatifs. Le contrôle d'exactitude y est élégant : l'orientation étant portée par un vecteur unitaire, il suffit de vérifier à chaque pas que son produit scalaire avec lui-même vaut toujours 1 — un écart de plus de $10^{-5}$ signale un pas trop long.
  
 ## Quel outil intègre quoi ## Quel outil intègre quoi
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 4. E. Hairer, S. P. Nørsett, G. Wanner — //Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems//, Springer, 2ᵉ éd., 1993 (Springer Series in Computational Mathematics, 8). 4. E. Hairer, S. P. Nørsett, G. Wanner — //Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems//, Springer, 2ᵉ éd., 1993 (Springer Series in Computational Mathematics, 8).
 5. R. L. McCoy — //Modern Exterior Ballistics: The Launch and Flight Dynamics of Symmetric Projectiles//, Schiffer, 2ᵉ éd., 2012 (modèles point-masse et 6-DOF). 5. R. L. McCoy — //Modern Exterior Ballistics: The Launch and Flight Dynamics of Symmetric Projectiles//, Schiffer, 2ᵉ éd., 2012 (modèles point-masse et 6-DOF).
-6. R. L. McCoy — //MC DRAG — A Computer Program for Estimating the Drag Coefficients of Projectiles//, Ballistic Research Laboratory, rapport ARBRL-TR-02293, février 1981.+6. R. L. McCoy — //MCDRAG - A Computer Program for Estimating the Drag Coefficients of Projectiles//, Ballistic Research Laboratories, rapport technique ARBRL-TR-02293, 1981.
  
 ## Voir aussi ## Voir aussi
technique/integration_rk4.txt · Dernière modification : de Lepigeon