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Accueil » Wiki » Techniques » L'intégration numérique par la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4)

Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

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technique:integration_rk4 [2026/08/12 02:18] – Corrections factuelles : integrateur reel des outils, k2/k3 au meme instant, 6-DOF, pas fixe, spin drift post-integration, references Lepigeontechnique:integration_rk4 [2026/08/14 21:41] (Version actuelle) – modification externe 127.0.0.1
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 # L'intégration numérique par la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4) # L'intégration numérique par la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4)
  
-Les équations de la balistique — intérieure comme extérieure — n'admettent pas de solution analytique en forme close dès qu'on emploie un modèle réaliste : la traînée suit une table expérimentale fonction du nombre de Mach, l'air change de densité avec l'altitude, la poudre brûle selon une loi empirique. On les résout donc **numériquement**, pas de temps par pas de temps. L'algorithme employé pour cela sur Tireur.org est la **méthode de Runge-Kutta d'ordre 4**, abrégée **RK4**, due aux travaux de Carl Runge (1895) et Wilhelm Kutta (1901).+Les équations de la balistique — intérieure comme extérieure — n'admettent pas de solution analytique en forme close dès qu'on emploie un modèle réaliste : la traînée suit une table expérimentale fonction du nombre de Mach, l'air change de densité avec l'altitude, la poudre brûle selon une loi empirique. On les résout donc **numériquement**, pas de temps par pas de temps. L'algorithme employé pour cela sur Tireur.org est la **méthode de Runge-Kutta d'ordre 4**, abrégée **RK4**, due aux travaux de Carl Runge (1895) [6] et Wilhelm Kutta (1901) [3].
  
-Cette page décrit le principe de l'algorithme, puis la façon dont il est appliqué dans nos outils — et ce qui, chez eux, n'en relève pas.+Cette page part du problème lui-même, expose la méthode la plus élémentaire qui le résout — celle d'Euler — puis ce que RK4 y ajoute, et décrit enfin la façon dont l'algorithme est appliqué dans nos outils, et ce qui, chez eux, n'en relève pas. Aucune connaissance préalable en analyse numérique n'est supposée.
  
-## Pourquoi l'intégration numérique+## Le problème, posé simplement 
 + 
 +Un calculateur balistique répond à une question banale : **où est la balle, et à quelle vitesse, une seconde après le départ du coup ?** Ce qu'on lui donne pour cela n'est pas une trajectoire, mais un point de départ et une règle : 
 + 
 +* **l'état initial** — position et vitesse à la bouche ; 
 +* **une règle de changement** — pour un état donné, on sait calculer l'accélération que subit la balle : gravité vers le bas, traînée opposée au vecteur vitesse, éventuellement Coriolis. 
 + 
 +Toute la difficulté tient au fait que cette règle ne donne **jamais la position directement**. Elle ne donne que la *tendance* : de combien la vitesse est en train de changer, à cet instant précis, dans cet état précis. Et cette tendance change avec l'état — la traînée dépend de la vitesse, or la vitesse est précisément ce que la traînée modifie. Chacune des deux grandeurs est l'entrée de l'autre. 
 + 
 +C'est ce que les mathématiques appellent une **équation différentielle** : une relation qui ne dit pas ce que vaut la quantité cherchée, mais à quelle vitesse elle varie. Elle s'écrit toujours de la même façon : 
 + 
 +$$ \frac{dy}{dt} = f(t, y) $$ 
 + 
 +À gauche, la variation de l'état ; à droite, la **règle de changement** $f$, qui calcule cette variation à partir de l'instant $t$ et de l'état courant $y$. Cette écriture gouverne tout le reste de la page : $y$ y désignera le paquet « position et vitesse » du projectile, et $f$ le calcul des forces qui s'y appliquent. 
 + 
 +Le cas d'école est la chute libre sans air, dont la règle de changement ne dépend de rien : elle vaut $-g$ à tout instant. On sait alors « remonter » de la variation à la quantité elle-même, une fois pour toutes — c'est ce qu'on appelle **intégrer** l'équation : 
 + 
 +$$ \frac{dv}{dt} = -g \quad \Longrightarrow \quad v = -gt \quad \Longrightarrow \quad h = -\frac{1}{2}gt^2 $$ 
 + 
 +La formule obtenue donne la hauteur à n'importe quel instant, sans calcul intermédiaire. Ce qui met fin à ce confort, c'est que la vraie règle de changement **dépend de l'état** : $f$ réclame la vitesse pour calculer la traînée, et la traînée modifie la vitesse. Quelques cas de ce genre restent solubles à la main — on s'en servira plus bas comme étalon — mais aucune formule ne survit à un coefficient de traînée lu dans une table de mesures. 
 + 
 +Il reste alors une méthode dont personne ne peut nous priver : **avancer par petits pas**. On connaît l'état maintenant, donc on connaît la tendance maintenant ; on suppose qu'elle reste à peu près valable pendant un très court instant $\Delta t$ ; on en déduit l'état à $t + \Delta t$ ; et on recommence. Mille fois, dix mille fois, jusqu'à la cible. C'est exactement ce que fait un GPS de randonnée qui reconstitue un parcours à partir d'un cap et d'une vitesse relevés chaque seconde. 
 + 
 +Cette approche s'appelle l'**intégration numérique**. Elle ne donne pas une formule, elle donne une liste de points — et c'est bien assez pour dresser une table de chute. Tout le savoir-faire consiste alors à choisir *comment* franchir chaque petit pas : c'est là que se joue la différence entre la méthode d'Euler et RK4, et c'est l'objet de cette page. 
 + 
 +## Pourquoi aucune formule ne s'y substitue
  
 Sur un projectile en vol : Sur un projectile en vol :
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 L'accélération dépend donc de la vitesse, qui dépend elle-même de l'accélération : le système d'équations différentielles est **couplé et non linéaire**. Des solutions analytiques existent pour des lois de traînée simples — traînée proportionnelle à $v$ ou à $v^2$ — et l'artillerie a longtemps vécu sur des solutions approchées de ce type, dont la méthode de Siacci pour le tir tendu. Aucune ne vaut pour une table de traînée mesurée comme G1 ou G7. L'accélération dépend donc de la vitesse, qui dépend elle-même de l'accélération : le système d'équations différentielles est **couplé et non linéaire**. Des solutions analytiques existent pour des lois de traînée simples — traînée proportionnelle à $v$ ou à $v^2$ — et l'artillerie a longtemps vécu sur des solutions approchées de ce type, dont la méthode de Siacci pour le tir tendu. Aucune ne vaut pour une table de traînée mesurée comme G1 ou G7.
  
-L'**intégration numérique** contourne l'obstacle : on découpe le temps en petites tranches (le **pas de temps** $\Delta t$) et on recalcule l'état de proche en proche — position et vitesse en balistique extérieure, auxquelles s'ajoutent pression, température et fraction de poudre brûlée en balistique intérieure.+Ces lois de traînée simplifiées gardent malgré tout une utilité : elles servent d'**étalon**. C'est ce qui permet, plus bas, de chiffrer l'erreur d'une méthode — on l'applique à un problème dont on connaît par ailleurs la réponse rigoureuse, et l'écart se lit directement. 
 + 
 +L'intégration numérique, elle, ne demande rien d'autre que de savoir évaluer la règle de changement en un état quelconque : la table G7 peut être aussi biscornue qu'elle veut, on l'interroge point par point. Ce qu'on fait avancer de proche en proche s'appelle l'**état** du système : position et vitesse en balistique extérieure, auxquelles s'ajoutent pression, température et fraction de poudre brûlée en balistique intérieure. 
 + 
 +## La méthode d'Euler : le pas le plus simple possible 
 + 
 +La façon la plus directe de franchir un pas consiste à prendre la tendance telle qu'elle est au départ et à la tenir pour constante pendant tout le pas. Si $y_n$ est l'état à l'instant $t_n$ et $f(t_n, y_n)$ la règle de changement évaluée sur cet état, alors : 
 + 
 +$$ y_{n+1} = y_n + \Delta t \cdot f(t_n, y_n) $$ 
 + 
 +C'est la **méthode d'Euler**, décrite par Leonhard Euler au XVIIIᵉ siècle, et elle tient tout entière dans cette ligne. Géométriquement, elle remplace la courbe par sa **tangente** au point de départ : on quitte la vraie trajectoire au point où l'on est, on file tout droit dans la direction où elle pointait, et on décrète que le point d'arrivée est le nouvel état. 
 + 
 +Son défaut se lit dans cette description même. La tendance était juste **au départ du pas**, et seulement là ; dès qu'on a bougé, elle ne l'est plus. Une balle qui ralentit subit une traînée d'autant plus faible qu'elle va moins vite : en gardant pendant tout le pas la traînée du début, la plus forte, Euler freine trop. L'erreur n'est pas une dispersion aléatoire qui se compenserait, c'est un **biais systématique**, toujours du même côté, qui s'accumule pas après pas. 
 + 
 +<WRAP round tip> 
 +**Le banc d'essai de cette page.** Les chiffres qui suivent viennent d'un cas volontairement simplifié : une balle de .308 de 175 gr (11,34 g, ø 7,82 mm) lancée à 800 m/s, freinée par la seule traînée, avec un coefficient de traînée **figé** à 0,35 en atmosphère standard. Le mouvement obéit alors à $\frac{dv}{dt} = -k v^2$ avec $k = 9{,}08 \times 10^{-4}$ m⁻¹, et cette équation-là possède une solution exacte : 
 + 
 +$$ v(t) = \frac{v_0}{1 + k v_0 t} $$ 
 + 
 +C'est tout l'intérêt de la manœuvre : on peut comparer chaque méthode à la **vraie** réponse. Le vrai calculateur, lui, lit le coefficient de traînée dans la table G7 à chaque évaluation, et c'est justement pour cela qu'il n'a plus de solution exacte à laquelle se comparer. 
 +</WRAP> 
 + 
 +Prenons un seul pas de $\Delta t = 0{,}1$ s depuis la bouche. À 800 m/s, la décélération vaut 581 m/s², soit près de 59 g. Euler en conclut : 
 + 
 +$$ v = 800 - 0{,}1 \times 581{,}1 = 741{,}9\ \text{m/s} $$ 
 + 
 +La solution exacte donne 745,8 m/s. En un seul pas, **3,9 m/s d'écart** — et toujours par défaut, jamais par excès. 
 + 
 +### L'ordre d'une méthode 
 + 
 +Le remède évident est de raccourcir le pas : la tangente s'écarte moins de la courbe si on la suit moins longtemps. La question est de savoir **combien** on gagne, et c'est ce que mesure l'**ordre** de la méthode. 
 + 
 +Une méthode est d'ordre $p$ lorsque son erreur décroît comme $\Delta t^p$. Euler est d'**ordre 1** : diviser le pas par deux ne divise l'erreur que par deux. RK4 est d'**ordre 4** : diviser le pas par deux divise l'erreur par $2^4 = 16$. Sur le banc d'essai ci-dessus, à une seconde de vol (vitesse exacte : 463,40 m/s) : 
 + 
 +| Pas de temps | Erreur d'Euler | Erreur de RK4 | 
 +| :--- | ---: | ---: | 
 +| 0,1 s | −11,18 m/s | 8 × 10⁻⁵ m/s | 
 +| 0,05 s | −5,45 m/s | 5 × 10⁻⁶ m/s | 
 +| 0,025 s | −2,69 m/s | 3 × 10⁻⁷ m/s | 
 +| 0,0125 s | −1,34 m/s | 2 × 10⁻⁸ m/s | 
 + 
 +Chaque ligne divise le pas par deux. La colonne Euler se divise par deux, la colonne RK4 par seize. L'écart entre les deux méthodes ne se referme donc jamais : il s'ouvre à chaque raffinement. 
 + 
 +C'est la raison de fond pour laquelle personne n'intègre une trajectoire avec Euler. Non parce que la méthode serait fausse — elle converge bien vers la bonne réponse — mais parce qu'elle **paie très cher** chaque décimale gagnée.
  
 ## Le principe de RK4 ## Le principe de RK4
  
-L'algorithme ne se contente pas de prolonger la courbe en ligne droite à partir de la pente initiale — ce serait la méthode d'Euler, d'ordre 1, immédiate à écrire mais qui accumule l'erreur trop vite pour un tir à longue distance.+L'idée de Runge et Kutta est que la faiblesse d'Euler n'est pas d'aller tout droit, mais de choisir sa direction sur la seule information disponible au point de départ. Avant de s'engager, on peut aller **sonder** la pente ailleurs dans l'intervalle, puis partir dans une direction moyenne mieux informée — sans jamais avoir besoin de connaître la solution.
  
 Pour chaque pas de temps $\Delta t$, RK4 évalue **quatre fois** la dérivée, réparties sur **trois instants** de l'intervalle : Pour chaque pas de temps $\Delta t$, RK4 évalue **quatre fois** la dérivée, réparties sur **trois instants** de l'intervalle :
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 $$ y_{n+1} = y_n + \frac{\Delta t}{6} \left( k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4 \right) $$ $$ y_{n+1} = y_n + \frac{\Delta t}{6} \left( k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4 \right) $$
  
-Le poids double accordé à $k_2$ et $k_3$, les évaluations centrales, revient à privilégier le milieu du pas — c'est ce qui fait la précision de la formule. L'erreur globale décroît comme $\Delta t^4$ : diviser le pas de temps par deux divise l'erreur d'intégration par $2^4 = 16$. L'erreur commise sur un pas isolé est d'un ordre plus élevée encore ($\Delta t^5$) ; c'est son accumulation sur l'ensemble des pas d'une trajectoire qui ramène à l'ordre 4.+Le poids double accordé à $k_2$ et $k_3$, les évaluations centrales, revient à privilégier le milieu du pas — c'est ce qui fait la précision de la formule. Elle n'est d'ailleurs pas la seule possible : le système d'équations qui définit une méthode de Runge-Kutta jusqu'à l'ordre 4 est **sous-déterminé**, une des constantes pouvant être choisie arbitrairement, si bien que plusieurs formules d'ordre 4 coexistent [1]. Celle donnée ici est la formule classique de Kutta [3] ; la variante de Gill en est une autre, longtemps préférée pour son moindre encombrement en mémoire. L'erreur commise sur un pas isolé décroît comme $\Delta t^5$ ; c'est son accumulation sur l'ensemble des pas d'une trajectoire qui ramène la méthode à l'ordre 4. 
 + 
 +![Panneau A : cinq pas d'Euler de 0,1 s décrochent visiblement de la solution exacte, toujours du même côté. Panneau B : dans le tout premier pas, les quatre pentes sondées par RK4 — k₂ et k₃ sont prises au même instant, sur deux estimations différentes de l'état — et le point d'arrivée, confondu avec la courbe exacte.](technique:euler_vs_rk4.svg?640) 
 + 
 +Sur le même pas de 0,1 s que tout à l'heure, les quatre sondages donnent $k_1 = -581{,}1$, $k_2 = -539{,}6$, $k_3 = -542{,}5$ et $k_4 = -505{,}0$ m/s². Leur moyenne pondérée vaut −541,7 m/s² : RK4 avance donc avec une décélération sensiblement plus faible que les 581 m/s² d'Euler, parce qu'il a **vu venir** l'allègement de la traînée au lieu de le découvrir au pas suivant. Le résultat, 745,8259 m/s, coïncide avec la solution exacte à 5 × 10⁻⁵ m/s près — quand Euler s'en écartait de 3,9 m/s. 
 + 
 +### Quatre évaluations, mais à coût égal 
 + 
 +L'objection est immédiate : RK4 évalue la dérivée quatre fois par pas, là où Euler ne le fait qu'une. Un pas de RK4 coûte donc quatre pas d'Euler, et c'est le nombre d'évaluations — pas le nombre de pas — qui fait le temps de calcul. 
 + 
 +La comparaison honnête se fait donc à **budget égal**. Reprenons la balle du banc d'essai, cette fois avec la gravité, et regardons où elle est après 1,2 s de vol (environ 690 m) ; la référence est la même intégration menée à pas ridiculement court : 
 + 
 +| Méthode et pas | Évaluations | Écart sur la distance | Écart sur la chute | 
 +| :--- | ---: | ---: | ---: | 
 +| Euler, $\Delta t = 0{,}1$ s | 12 | +8,40 m | −33,1 cm | 
 +| Euler, $\Delta t = 0{,}025$ s | 48 | +2,06 m | −8,2 cm | 
 +| **RK4, $\Delta t = 0{,}1$ s** | **48** | **< 1 mm** | **+0,0004 cm** | 
 +| Euler, $\Delta t = 0{,}0005$ s | 2 400 | +4,1 cm | −0,16 cm | 
 + 
 +À budget strictement identique — 48 évaluations de la dérivée — Euler place la balle deux mètres trop loin et huit centimètres trop haut ; RK4 tombe sous le millimètre. Et même en lui accordant cinquante fois plus de travail, Euler reste plus grossier que RK4 au pas le plus large. C'est tout l'argument : les quatre évaluations ne sont pas un surcoût, elles sont **le meilleur usage possible** de quatre évaluations. 
 + 
 +<WRAP round tip> 
 +**Ce que ces écarts ne sont pas.** Ils mesurent la fidélité de l'intégrateur à son propre modèle, et rien d'autre. Un solveur peut reproduire ses équations au micron près et rater la cible de dix centimètres si le coefficient balistique, la vitesse initiale ou le vent qu'on lui a donnés sont faux. L'erreur d'intégration est simplement la seule des sources d'erreur qu'on puisse rendre négligeable pour le prix d'un peu de calcul — raison de plus pour ne pas la laisser traîner. 
 +</WRAP>
  
 ### Un pas fixe, sans contrôle d'erreur ### Un pas fixe, sans contrôle d'erreur
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 Nos solveurs avancent à **pas constant**, choisi une fois pour toutes : $\Delta t = 0{,}0005$ s pour la trajectoire extérieure, 1 microseconde pour la simulation intérieure, où tout se joue en une à deux millisecondes. Nos solveurs avancent à **pas constant**, choisi une fois pour toutes : $\Delta t = 0{,}0005$ s pour la trajectoire extérieure, 1 microseconde pour la simulation intérieure, où tout se joue en une à deux millisecondes.
  
-Les intégrateurs à **pas adaptatif** — Runge-Kutta-Fehlberg, Dormand-Prince, ceux que l'on trouve derrière un `ode45` — estiment l'erreur à chaque pas en comparant deux formules d'ordres différents, puis resserrent ou relâchent $\Delta t$ en conséquence. Sur une trajectoire, ils raccourciraient le pas au passage transsonique et l'allongeraient sur la fin de course. À pas fixe, la marge se prend en amont : on retient un pas assez court pour la phase la plus raide et on le garde partout. C'est plus simple, un peu plus coûteux en calcul, et suffisant tant que le pas reste petit devant les temps caractéristiques du problème.+Les intégrateurs à **pas adaptatif** — Runge-Kutta-Fehlberg, Dormand-Prince, ceux que l'on trouve derrière un `ode45` — estiment l'erreur à chaque pas en comparant deux formules d'ordres différents, puis resserrent ou relâchent $\Delta t$ en conséquence [2]. Sur une trajectoire, ils raccourciraient le pas au passage transsonique et l'allongeraient sur la fin de course. À pas fixe, la marge se prend en amont : on retient un pas assez court pour la phase la plus raide et on le garde partout. C'est plus simple, un peu plus coûteux en calcul, et suffisant tant que le pas reste petit devant les temps caractéristiques du problème.
  
 ## Application vectorielle ## Application vectorielle
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 ### Et le 6-DOF ? ### Et le 6-DOF ?
  
-Un modèle **6-DOF** suit en plus l'attitude du projectile : son vecteur d'état compte douze variables — trois de position, trois de vitesse, trois d'orientation et trois de vitesse angulaire. Il ne réclame plus un simple coefficient de traînée mais un jeu complet de coefficients aérodynamiques : portance, moment de tangage, amortissement en tangage et en roulis, effet Magnus. Ces coefficients se mesurent au tunnel balistique ou en soufflerie, ou s'estiment par des codes comme McDrag et McGyro, dus à Robert L. McCoy.+Un modèle **6-DOF** suit en plus l'attitude du projectile : son vecteur d'état compte douze variables — trois de position, trois de vitesse, trois d'orientation et trois de vitesse angulaire. Il ne réclame plus un simple coefficient de traînée mais un jeu complet de coefficients aérodynamiques : portance, moment de tangage, amortissement en tangage et en roulis, effet Magnus. Ce jeu complet s'obtient par réduction de tirs en tunnel balistique ou d'essais en soufflerie. Les codes semi-empiriques que les tireurs connaissent de nom n'en fournissent chacun qu'une pièce : **McDrag**, publié par Robert L. McCoy en 1981 [4], estime le seul coefficient de traînée à incidence nulle, et **McGyro** le facteur de stabilité gyroscopique et le pas de rayure nécessaire. Ni l'un ni l'autre ne rend la portance, les amortissements ou l'effet Magnus.
  
-Ils ne sont publiés pour presque aucune balle du commerce : c'est ce qui cantonne le 6-DOF à l'étude de la stabilité et de la dispersion plutôt qu'à la prévision courante de trajectoire, où un modèle point-masse correctement renseigné fait pratiquement aussi bien. L'algorithme d'intégration, lui, ne change pas : RK4 s'applique à un vecteur de douze composantes exactement comme à un vecteur de six.+Ils ne sont publiés pour presque aucune balle du commerce. Mais la raison de fond tient au vol lui-même, et McCoy l'énonce sans détour [5] : **le 6-DOF n'est pas nécessaire au travail courant de balistique extérieure**. Tant que l'incidence totale reste faible sur tout le parcours, un modèle point-masse est « souvent suffisamment exact à toutes fins pratiques ». Le 6-DOF s'impose dès que le projectile vole à **forte incidence** — un obus tiré à 70° de site, une balle lâchée en travers du vent relatif d'un avion. En tir tendu, la .308 de 168 gr qu'il prend en exemple ne dépasse jamais 5° de tangage-lacet : le cas ne relève pas du 6-DOF. 
 + 
 +L'intégrateur, lui, reste de la même famille sans être identique. Le programme 6-DOF du laboratoire de recherche balistique américain emploie la variante de Gill [5], avec un pas de temps **variable**, réévalué en continu sur la période du cycle de lacet ; une cinquantaine de pas par cycle sont nécessaires pour obtenir quatre à cinq chiffres significatifs. Le contrôle d'exactitude y est élégant : l'orientation étant portée par un vecteur unitaire, il suffit de vérifier à chaque pas que son produit scalaire avec lui-même vaut toujours 1 — un écart de plus de $10^{-5}$ signale un pas trop long.
  
 ## Quel outil intègre quoi ## Quel outil intègre quoi
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 ## Références ## Références
  
-1. C. Runge — //Über die numerische Auflösung von Differentialgleichungen//, Mathematische Annalen 46, 1895. +Par ordre alphabétique d'auteur, puis chronologique pour un même auteur ; les renvois **[n]** dans le texte pointent vers cette liste. 
-2. W. Kutta — //Beitrag zur näherungsweisen Integration totaler Differentialgleichungen//, 1901 (formule classique d'ordre 4). + 
-3. J. C. Butcher — //Numerical Methods for Ordinary Differential Equations//, Wiley, 3ᵉ éd., 2016. +1. Butcher, J. C. — //Numerical Methods for Ordinary Differential Equations//, Wiley, 3ᵉ éd., 2016. Conditions d'ordre, sous-détermination des méthodes d'ordre 4 et variante de Gill. 
-4. E. Hairer, S. P. Nørsett, G. Wanner — //Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems//, Springer, 2ᵉ éd., 1993. +2. Hairer, E., Nørsett, S. P. & Wanner, G. — //Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems//, Springer, 2ᵉ éd., 1993 (Springer Series in Computational Mathematics, 8). Méthodes à pas adaptatif et estimation d'erreur. 
-5. R. L. McCoy — //Modern Exterior Ballistics//, Schiffer, 2ᵉ éd., 2012 (modèles point-masse et 6-DOF, codes McDrag et McGyro).+3. Kutta, W. — //Beitrag zur näherungsweisen Integration totaler Differentialgleichungen//, Zeitschrift für Mathematik und Physik **46** (1901), p. 435-453. La formule classique d'ordre 4, celle que nos solveurs emploient. 
 +4. McCoy, R. L. — //MCDRAG — A Computer Program for Estimating the Drag Coefficients of Projectiles//, Ballistic Research Laboratories, rapport technique ARBRL-TR-02293, 1981. 
 +5. McCoy, R. L. — //Modern Exterior Ballistics: The Launch and Flight Dynamics of Symmetric Projectiles//, Schiffer, 2ᵉ éd., 2012. Modèles point-masse et 6-DOF, et l'intégrateur du programme 6-DOF du BRL. 
 +6. Runge, C. — //Ueber die numerische Auflösung von Differentialgleichungen//, Mathematische Annalen **46** (1895), p. 167-178.
  
 ## Voir aussi ## Voir aussi
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 - [Calculateur balistique](https://www.tireur.org/calculateur-balistique.php) — le solveur 3-DOF en ligne - [Calculateur balistique](https://www.tireur.org/calculateur-balistique.php) — le solveur 3-DOF en ligne
 - [Consolidated Competition Ballistics (PDF)](https://www.tireur.org/BallisticsGuide/doc/ballistics_manual.pdf) — la formulation mathématique complète du solveur - [Consolidated Competition Ballistics (PDF)](https://www.tireur.org/BallisticsGuide/doc/ballistics_manual.pdf) — la formulation mathématique complète du solveur
 +
 +//**Page vérifiée.** Le code des trois outils cités a été relu et le solveur 3-DOF ré-exécuté le 2026-08-12 : [[verification:technique:integration_rk4|fiche]].//
  
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