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technique:probabilites_statistiques [2026/06/28 20:55] – créée - modification externe 127.0.0.1technique:probabilites_statistiques [2026/07/29 22:47] (Version actuelle) – modification externe 127.0.0.1
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 Mesurer la moyenne ou l'écart-type d'une série, c'est **estimer** une grandeur à partir d'un échantillon limité — donc avec une incertitude. L'incertitude sur la moyenne, l'**erreur-type** (//standard error//), vaut : Mesurer la moyenne ou l'écart-type d'une série, c'est **estimer** une grandeur à partir d'un échantillon limité — donc avec une incertitude. L'incertitude sur la moyenne, l'**erreur-type** (//standard error//), vaut :
  
-$$ \mathrm{SE}(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}. $$+$$ \mathrm{SE}(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad\longrightarrow\quad \widehat{\mathrm{SE}}(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}}. $$
  
-Elle décroît en $1/\sqrt{n}$ : pour **diviser par deux** l'incertitude, il faut **quatre fois plus** de tirs. Un **intervalle de confiance** à 95 % s'écrit approximativement $\bar{x} \pm 1{,}96\thinspace\mathrm{SE}$ (loi de Student pour les petits échantillons).+En pratique $\sigma$ est inconnu : on le remplace par l'écart-type d'échantillon $s$, et c'est précisément cette substitution qui impose la **loi de Student** plutôt que la loi normale sur les petits échantillons. 
 + 
 +L'erreur-type décroît en $1/\sqrt{n}$ : pour **diviser par deux** l'incertitude, il faut **quatre fois plus** de tirs. Un **intervalle de confiance** à 95 % s'écrit approximativement $\bar{x} \pm 1{,}96\thinspace\mathrm{SE}$ — le facteur exact venant de Student, il est sensiblement plus grand sur un petit échantillon.
  
 > **Au tir.** C'est pourquoi un SD calculé sur 3 balles est peu fiable : estimer un écart-type demande de la donnée. La [[https://www.tireur.org/notebooks/chronographe.php|page d'analyse de chronographe]] illustre cette convergence. > **Au tir.** C'est pourquoi un SD calculé sur 3 balles est peu fiable : estimer un écart-type demande de la donnée. La [[https://www.tireur.org/notebooks/chronographe.php|page d'analyse de chronographe]] illustre cette convergence.
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 Jusqu'où peut-on estimer précisément une grandeur à partir d'une observation bruitée ? L'**information de Fisher** $\mathcal{I}(\theta)$ mesure la quantité d'information qu'une mesure apporte sur le paramètre $\theta$. La **borne de Cramér–Rao** fixe alors la limite de précision : Jusqu'où peut-on estimer précisément une grandeur à partir d'une observation bruitée ? L'**information de Fisher** $\mathcal{I}(\theta)$ mesure la quantité d'information qu'une mesure apporte sur le paramètre $\theta$. La **borne de Cramér–Rao** fixe alors la limite de précision :
  
-$$ \operatorname{Var}(\hat{\theta}) \ge \frac{1}{\mathcal{I}(\theta)}. $$+$$ \operatorname{Var}(\hat{\theta}) \ge \frac{1}{\mathcal{I}(\theta)} $$
  
-Aucun estimateur ne peut faire mieux. Plus l'information est grande (signal contrasté, nombreux photons, bords nets), plus la variance minimale est petite.+valable pour tout estimateur $\hat{\theta}$ **sans biais**. 
 + 
 +Plus l'information est grande (signal contrasté, nombreux photons, bords nets), plus la variance minimale est petite. Et comme $\mathcal{I}$ s'additionne sur des observations indépendantes, $n$ mesures donnent $\mathcal{I}_n = n\thinspace\mathcal{I}$ : la variance minimale décroît en $1/n$, l'écart-type en $1/\sqrt{n}$ — on retrouve la loi des grands nombres du paragraphe précédent. 
 + 
 +<WRAP round important> 
 +**La condition « sans biais » n'est pas une formalité.** Sans elle la borne est fausse, et de façon triviale : l'estimateur qui répond toujours la même valeur, sans regarder les données, a une variance nulle. Il est simplement toujours à côté. 
 + 
 +Ce que la borne interdit, c'est donc d'être **à la fois** juste en moyenne et arbitrairement précis. Accepter un peu de biais pour gagner en variance est un compromis réel et parfois avantageux — c'est ce que font les estimateurs régularisés. 
 +</WRAP>
  
 > **Au tir.** Cette borne explique l'**hyperacuité** : comment l'œil atteint quelques secondes d'arc en centrant des cercles concentriques (voir la [[technique:visee_dioptre|visée au dioptre]]). > **Au tir.** Cette borne explique l'**hyperacuité** : comment l'œil atteint quelques secondes d'arc en centrant des cercles concentriques (voir la [[technique:visee_dioptre|visée au dioptre]]).
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 - [[technique:ecart_type_chronographe|L'écart-type (SD) au chronographe]] — mythes des petits échantillons, comparaison SD vs ES, flyers et dispersion en cible - [[technique:ecart_type_chronographe|L'écart-type (SD) au chronographe]] — mythes des petits échantillons, comparaison SD vs ES, flyers et dispersion en cible
 - [[https://www.tireur.org/notebooks/chronographe.php|Analyse de données de chronographe]] — convergence de la moyenne et de l'écart-type, intervalles de confiance - [[https://www.tireur.org/notebooks/chronographe.php|Analyse de données de chronographe]] — convergence de la moyenne et de l'écart-type, intervalles de confiance
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 +//**Page vérifiée.** Ce qui a été recalculé — y compris les schémas — figure sur la [[verification:technique:probabilites_statistiques|fiche de vérification]].//
  
technique/probabilites_statistiques.txt · Dernière modification : de 127.0.0.1