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Accueil » Wiki » Techniques » Rappels de probabilités et statistiques pour le tireur

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technique:probabilites_statistiques [2026/08/14 21:41] – modification externe 127.0.0.1technique:probabilites_statistiques [2026/09/26 13:47] (Version actuelle) – modification externe 127.0.0.1
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 $$ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, \qquad s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2. $$ $$ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, \qquad s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2. $$
  
-Le diviseur $n-1$ (et non $n$) corrige le fait que $\bar{x}$ est lui-même estimé : c'est l'**écart-type d'échantillon** que renvoient les calculatrices (touche $s$ ou $\sigma_{n-1}$).+Le diviseur $n-1$ (et non $n$) corrige le fait que $\bar{x}$ est lui-même estimé : il rend $s^2$ **sans biais**, c'est-à-dire juste en moyenne. C'est l'**écart-type d'échantillon** que renvoient les calculatrices (touche $s$ ou $\sigma_{n-1}$). 
 + 
 +La racine, elle, ne l'est pas : $s$ reste en moyenne un peu **en dessous** de $\sigma$. Pour une loi normale, $\mathbb{E}[s] = c_4\thinspace\sigma$, avec $c_4 \approx 0{,}886$ pour $n = 3$, $0{,}940$ pour $n = 5$ et $0{,}973$ pour $n = 10$. Un SD calculé sur trois balles sous-estime donc l'écart-type réel d'environ 11 % en moyenne, en plus d'être très dispersé d'une série à l'autre.
  
 > **Au tir.** L'écart-type des vitesses (SD, //standard deviation//) et l'écart extrême (ES) résument la régularité d'une série au chronographe — voir [[technique:rechargement_balistique|rechargement]] et l'[[https://www.tireur.org/notebooks/chronographe.php|analyse de chronographe]]. > **Au tir.** L'écart-type des vitesses (SD, //standard deviation//) et l'écart extrême (ES) résument la régularité d'une série au chronographe — voir [[technique:rechargement_balistique|rechargement]] et l'[[https://www.tireur.org/notebooks/chronographe.php|analyse de chronographe]].
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 Pour des événements rares et indépendants survenant à taux constant — photons captés par la rétine, clics d'un compteur — le nombre $N$ observé suit une **loi de Poisson**. Sa particularité remarquable : la variance égale la moyenne, donc l'écart-type vaut $\sqrt{N}$. Pour des événements rares et indépendants survenant à taux constant — photons captés par la rétine, clics d'un compteur — le nombre $N$ observé suit une **loi de Poisson**. Sa particularité remarquable : la variance égale la moyenne, donc l'écart-type vaut $\sqrt{N}$.
 +
 +Plus précisément, l'écart-type est la racine de la **moyenne** ; sur une observation, on l'estime par $\sqrt{N}$.
  
 Le **bruit relatif** décroît donc comme $1/\sqrt{N}$, et le **rapport signal sur bruit** croît comme : Le **bruit relatif** décroît donc comme $1/\sqrt{N}$, et le **rapport signal sur bruit** croît comme :
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 En pratique $\sigma$ est inconnu : on le remplace par l'écart-type d'échantillon $s$, et c'est précisément cette substitution qui impose la **loi de Student** plutôt que la loi normale sur les petits échantillons [2]. En pratique $\sigma$ est inconnu : on le remplace par l'écart-type d'échantillon $s$, et c'est précisément cette substitution qui impose la **loi de Student** plutôt que la loi normale sur les petits échantillons [2].
  
-L'erreur-type décroît en $1/\sqrt{n}$ : pour **diviser par deux** l'incertitude, il faut **quatre fois plus** de tirs. Un **intervalle de confiance** à 95 % s'écrit approximativement $\bar{x} \pm 1{,}96\thinspace\mathrm{SE}$ — le facteur exact venant de Student, il est sensiblement plus grand sur un petit échantillon.+L'erreur-type décroît en $1/\sqrt{n}$ : pour **diviser par deux** l'incertitude, il faut **quatre fois plus** de tirs. Un **intervalle de confiance** à 95 % s'écrit approximativement $\bar{x} \pm 1{,}96\thinspace\widehat{\mathrm{SE}}$. Le facteur exact vient de la loi de Student à $n-1$ degrés de liberté, et il est nettement plus grand sur un petit échantillon : 
 + 
 +| Nombre de tirs $n$ | 3 | 5 | 10 | 20 | 30 | 
 +| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | 
 +| Facteur de Student (95 %) | 4,30 | 2,78 | 2,26 | 2,09 | 2,05 | 
 + 
 +Sur trois tirs, l'intervalle est donc plus de deux fois plus large que ne le dirait le facteur 1,96.
  
 > **Au tir.** C'est pourquoi un SD calculé sur 3 balles est peu fiable : estimer un écart-type demande de la donnée. La [[https://www.tireur.org/notebooks/chronographe.php|page d'analyse de chronographe]] illustre cette convergence. > **Au tir.** C'est pourquoi un SD calculé sur 3 balles est peu fiable : estimer un écart-type demande de la donnée. La [[https://www.tireur.org/notebooks/chronographe.php|page d'analyse de chronographe]] illustre cette convergence.
Ligne 101: Ligne 111:
 valable pour tout estimateur $\hat{\theta}$ **sans biais**. valable pour tout estimateur $\hat{\theta}$ **sans biais**.
  
-Plus l'information est grande (signal contrasté, nombreux photons, bords nets), plus la variance minimale est petite. Et comme $\mathcal{I}$ s'additionne sur des observations indépendantes, $n$ mesures donnent $\mathcal{I}_n = n\thinspace\mathcal{I}$ : la variance minimale décroît en $1/n$, l'écart-type en $1/\sqrt{n}$ — on retrouve la loi des grands nombres du paragraphe précédent.+Plus l'information est grande (signal contrasté, nombreux photons, bords nets), plus la variance minimale est petite. Et comme $\mathcal{I}$ s'additionne sur des observations indépendantes, $n$ mesures donnent $\mathcal{I}_n = n\thinspace\mathcal{I}$ : la variance minimale décroît en $1/n$, l'écart-type en $1/\sqrt{n}$. On retrouve la décroissance de l'erreur-type vue au paragraphe précédent.
  
 <WRAP round important> <WRAP round important>
Ligne 117: Ligne 127:
 $$ \hat{\theta} = \arg\min_{\theta} \sum_i w_i\bigl(y_i - f(x_i;\theta)\bigr)^2. $$ $$ \hat{\theta} = \arg\min_{\theta} \sum_i w_i\bigl(y_i - f(x_i;\theta)\bigr)^2. $$
  
-Les poids $w_i$ donnent plus d'importance aux mesures fiables. Sous l'hypothèse d'un bruit gaussien, cette méthode coïncide avec le **maximum de vraisemblance** [2] (le jeu de paramètres rendant les données observées les plus probables). Pour la rigueur, on contrôle l'ajustement par **validation croisée** et on reporte des **intervalles de confiance** sur les paramètres.+Les poids $w_i$ donnent plus d'importance aux mesures fiables. Si le bruit est gaussien et que chaque poids vaut l'inverse de la variance de sa mesure, $w_i = 1/\sigma_i^2$, cette méthode coïncide avec le **maximum de vraisemblance** [2] (le jeu de paramètres rendant les données observées les plus probables). Pour la rigueur, on contrôle l'ajustement par **validation croisée** et on reporte des **intervalles de confiance** sur les paramètres.
  
 > **Au tir.** C'est la procédure de calibration individuelle du guidon (voir la [[technique:visee_dioptre|visée au dioptre]]) et l'ajustement des modèles de traînée (G1/G7) en [[technique:coefficient_balistique|balistique]]. > **Au tir.** C'est la procédure de calibration individuelle du guidon (voir la [[technique:visee_dioptre|visée au dioptre]]) et l'ajustement des modèles de traînée (G1/G7) en [[technique:coefficient_balistique|balistique]].
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