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technique:probabilites_statistiques [2026/06/28 20:55] – créée - modification externe 127.0.0.1technique:probabilites_statistiques [2026/08/14 21:41] (Version actuelle) – modification externe 127.0.0.1
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 Elle est **entièrement décrite** par $\mu$ et $\sigma$. Règle des **68–95–99,7** : environ 68 % des tirs tombent à moins de $1\sigma$ de la moyenne, 95 % à moins de $2\sigma$ et 99,7 % à moins de $3\sigma$. C'est pourquoi un groupement se résume si bien par son écart-type. Elle est **entièrement décrite** par $\mu$ et $\sigma$. Règle des **68–95–99,7** : environ 68 % des tirs tombent à moins de $1\sigma$ de la moyenne, 95 % à moins de $2\sigma$ et 99,7 % à moins de $3\sigma$. C'est pourquoi un groupement se résume si bien par son écart-type.
  
-Que de nombreuses petites erreurs indépendantes produisent une gaussienne est un résultat profond, le **théorème central limite** : il justifie l'emploi de la loi normale pour modéliser la dispersion d'un tir.+Que de nombreuses petites erreurs indépendantes produisent une gaussienne est un résultat profond, le **théorème central limite** [1] : il justifie l'emploi de la loi normale pour modéliser la dispersion d'un tir.
  
 ## Dispersion en cible : loi normale à deux dimensions et loi de Rayleigh ## Dispersion en cible : loi normale à deux dimensions et loi de Rayleigh
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 Sur la cible, l'écart au point moyen a deux composantes (horizontale $X$ et verticale $Y$). Si chacune est gaussienne, centrée, de même écart-type $\sigma$ et **indépendante** de l'autre, l'impact suit une **loi normale bivariée** $\mathcal{N}(\mathbf{0}, \sigma^2\mathbf{I})$ : un nuage circulaire centré sur le point moyen. Sur la cible, l'écart au point moyen a deux composantes (horizontale $X$ et verticale $Y$). Si chacune est gaussienne, centrée, de même écart-type $\sigma$ et **indépendante** de l'autre, l'impact suit une **loi normale bivariée** $\mathcal{N}(\mathbf{0}, \sigma^2\mathbf{I})$ : un nuage circulaire centré sur le point moyen.
  
-La **distance au centre** $R = \sqrt{X^2 + Y^2}$ suit alors la **loi de Rayleigh** :+La **distance au centre** $R = \sqrt{X^2 + Y^2}$ suit alors la **loi de Rayleigh** [3] :
  
 $$ f(r) = \frac{r}{\sigma^2}\exp\Bigl(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\Bigr), \qquad r \ge 0. $$ $$ f(r) = \frac{r}{\sigma^2}\exp\Bigl(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\Bigr), \qquad r \ge 0. $$
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 Mesurer la moyenne ou l'écart-type d'une série, c'est **estimer** une grandeur à partir d'un échantillon limité — donc avec une incertitude. L'incertitude sur la moyenne, l'**erreur-type** (//standard error//), vaut : Mesurer la moyenne ou l'écart-type d'une série, c'est **estimer** une grandeur à partir d'un échantillon limité — donc avec une incertitude. L'incertitude sur la moyenne, l'**erreur-type** (//standard error//), vaut :
  
-$$ \mathrm{SE}(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}. $$+$$ \mathrm{SE}(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad\longrightarrow\quad \widehat{\mathrm{SE}}(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}}. $$
  
-Elle décroît en $1/\sqrt{n}$ : pour **diviser par deux** l'incertitude, il faut **quatre fois plus** de tirs. Un **intervalle de confiance** à 95 % s'écrit approximativement $\bar{x} \pm 1{,}96\thinspace\mathrm{SE}$ (loi de Student pour les petits échantillons).+En pratique $\sigma$ est inconnu : on le remplace par l'écart-type d'échantillon $s$, et c'est précisément cette substitution qui impose la **loi de Student** plutôt que la loi normale sur les petits échantillons [2]. 
 + 
 +L'erreur-type décroît en $1/\sqrt{n}$ : pour **diviser par deux** l'incertitude, il faut **quatre fois plus** de tirs. Un **intervalle de confiance** à 95 % s'écrit approximativement $\bar{x} \pm 1{,}96\thinspace\mathrm{SE}$ — le facteur exact venant de Student, il est sensiblement plus grand sur un petit échantillon.
  
 > **Au tir.** C'est pourquoi un SD calculé sur 3 balles est peu fiable : estimer un écart-type demande de la donnée. La [[https://www.tireur.org/notebooks/chronographe.php|page d'analyse de chronographe]] illustre cette convergence. > **Au tir.** C'est pourquoi un SD calculé sur 3 balles est peu fiable : estimer un écart-type demande de la donnée. La [[https://www.tireur.org/notebooks/chronographe.php|page d'analyse de chronographe]] illustre cette convergence.
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 Jusqu'où peut-on estimer précisément une grandeur à partir d'une observation bruitée ? L'**information de Fisher** $\mathcal{I}(\theta)$ mesure la quantité d'information qu'une mesure apporte sur le paramètre $\theta$. La **borne de Cramér–Rao** fixe alors la limite de précision : Jusqu'où peut-on estimer précisément une grandeur à partir d'une observation bruitée ? L'**information de Fisher** $\mathcal{I}(\theta)$ mesure la quantité d'information qu'une mesure apporte sur le paramètre $\theta$. La **borne de Cramér–Rao** fixe alors la limite de précision :
  
-$$ \operatorname{Var}(\hat{\theta}) \ge \frac{1}{\mathcal{I}(\theta)}. $$+$$ \operatorname{Var}(\hat{\theta}) \ge \frac{1}{\mathcal{I}(\theta)} $$
  
-Aucun estimateur ne peut faire mieux. Plus l'information est grande (signal contrasté, nombreux photons, bords nets), plus la variance minimale est petite.+valable pour tout estimateur $\hat{\theta}$ **sans biais**. 
 + 
 +Plus l'information est grande (signal contrasté, nombreux photons, bords nets), plus la variance minimale est petite. Et comme $\mathcal{I}$ s'additionne sur des observations indépendantes, $n$ mesures donnent $\mathcal{I}_n = n\thinspace\mathcal{I}$ : la variance minimale décroît en $1/n$, l'écart-type en $1/\sqrt{n}$ — on retrouve la loi des grands nombres du paragraphe précédent. 
 + 
 +<WRAP round important> 
 +**La condition « sans biais » n'est pas une formalité.** Sans elle la borne est fausse, et de façon triviale : l'estimateur qui répond toujours la même valeur, sans regarder les données, a une variance nulle. Il est simplement toujours à côté. 
 + 
 +Ce que la borne interdit, c'est donc d'être **à la fois** juste en moyenne et arbitrairement précis. Accepter un peu de biais pour gagner en variance est un compromis réel et parfois avantageux — c'est ce que font les estimateurs régularisés. 
 +</WRAP>
  
 > **Au tir.** Cette borne explique l'**hyperacuité** : comment l'œil atteint quelques secondes d'arc en centrant des cercles concentriques (voir la [[technique:visee_dioptre|visée au dioptre]]). > **Au tir.** Cette borne explique l'**hyperacuité** : comment l'œil atteint quelques secondes d'arc en centrant des cercles concentriques (voir la [[technique:visee_dioptre|visée au dioptre]]).
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 $$ \hat{\theta} = \arg\min_{\theta} \sum_i w_i\bigl(y_i - f(x_i;\theta)\bigr)^2. $$ $$ \hat{\theta} = \arg\min_{\theta} \sum_i w_i\bigl(y_i - f(x_i;\theta)\bigr)^2. $$
  
-Les poids $w_i$ donnent plus d'importance aux mesures fiables. Sous l'hypothèse d'un bruit gaussien, cette méthode coïncide avec le **maximum de vraisemblance** (le jeu de paramètres rendant les données observées les plus probables). Pour la rigueur, on contrôle l'ajustement par **validation croisée** et on reporte des **intervalles de confiance** sur les paramètres.+Les poids $w_i$ donnent plus d'importance aux mesures fiables. Sous l'hypothèse d'un bruit gaussien, cette méthode coïncide avec le **maximum de vraisemblance** [2] (le jeu de paramètres rendant les données observées les plus probables). Pour la rigueur, on contrôle l'ajustement par **validation croisée** et on reporte des **intervalles de confiance** sur les paramètres.
  
 > **Au tir.** C'est la procédure de calibration individuelle du guidon (voir la [[technique:visee_dioptre|visée au dioptre]]) et l'ajustement des modèles de traînée (G1/G7) en [[technique:coefficient_balistique|balistique]]. > **Au tir.** C'est la procédure de calibration individuelle du guidon (voir la [[technique:visee_dioptre|visée au dioptre]]) et l'ajustement des modèles de traînée (G1/G7) en [[technique:coefficient_balistique|balistique]].
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 ## Références ## Références
  
-  - W. Feller, //An Introduction to Probability Theory and Its Applications//, Wiley, 1968. +Par ordre alphabétique d'auteur ; les renvois **[n]** dans le texte pointent vers cette liste. Ce sont trois traités généraux : ils fondent les résultats employés ici, aucun ne traite de tir. 
-  - A. Papoulis, //Probability, Random Variables and Stochastic Processes//, McGraw-Hill, 1991. + 
-  - R. A. Fisher, //Statistical Methods for Research Workers//, Oliver & Boyd, 1925.+1. Feller, W. — //An Introduction to Probability Theory and Its Applications//, Wiley, 1968. Théorème central limite et lois usuelles. 
 +2. Fisher, R. A. — //Statistical Methods for Research Workers//, Oliver & Boyd, 1925. Estimation sur petits échantillons, loi de Student et maximum de vraisemblance. 
 +3. Papoulis, A. — //Probability, Random Variables and Stochastic Processes//, McGraw-Hill, 1991. Lois bivariées, loi de Rayleigh et transformations de variables aléatoires.
  
 ## Voir aussi ## Voir aussi
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 - [[technique:ecart_type_chronographe|L'écart-type (SD) au chronographe]] — mythes des petits échantillons, comparaison SD vs ES, flyers et dispersion en cible - [[technique:ecart_type_chronographe|L'écart-type (SD) au chronographe]] — mythes des petits échantillons, comparaison SD vs ES, flyers et dispersion en cible
 - [[https://www.tireur.org/notebooks/chronographe.php|Analyse de données de chronographe]] — convergence de la moyenne et de l'écart-type, intervalles de confiance - [[https://www.tireur.org/notebooks/chronographe.php|Analyse de données de chronographe]] — convergence de la moyenne et de l'écart-type, intervalles de confiance
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 +//**Page vérifiée.** Ce qui a été recalculé — y compris les schémas — figure sur la [[verification:technique:probabilites_statistiques|fiche de vérification]].//
  
technique/probabilites_statistiques.1782680114.txt.gz · Dernière modification : de 127.0.0.1