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technique:probabilites_statistiques [2026/07/29 22:47] – modification externe 127.0.0.1technique:probabilites_statistiques [2026/08/14 21:41] (Version actuelle) – modification externe 127.0.0.1
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 Elle est **entièrement décrite** par $\mu$ et $\sigma$. Règle des **68–95–99,7** : environ 68 % des tirs tombent à moins de $1\sigma$ de la moyenne, 95 % à moins de $2\sigma$ et 99,7 % à moins de $3\sigma$. C'est pourquoi un groupement se résume si bien par son écart-type. Elle est **entièrement décrite** par $\mu$ et $\sigma$. Règle des **68–95–99,7** : environ 68 % des tirs tombent à moins de $1\sigma$ de la moyenne, 95 % à moins de $2\sigma$ et 99,7 % à moins de $3\sigma$. C'est pourquoi un groupement se résume si bien par son écart-type.
  
-Que de nombreuses petites erreurs indépendantes produisent une gaussienne est un résultat profond, le **théorème central limite** : il justifie l'emploi de la loi normale pour modéliser la dispersion d'un tir.+Que de nombreuses petites erreurs indépendantes produisent une gaussienne est un résultat profond, le **théorème central limite** [1] : il justifie l'emploi de la loi normale pour modéliser la dispersion d'un tir.
  
 ## Dispersion en cible : loi normale à deux dimensions et loi de Rayleigh ## Dispersion en cible : loi normale à deux dimensions et loi de Rayleigh
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 Sur la cible, l'écart au point moyen a deux composantes (horizontale $X$ et verticale $Y$). Si chacune est gaussienne, centrée, de même écart-type $\sigma$ et **indépendante** de l'autre, l'impact suit une **loi normale bivariée** $\mathcal{N}(\mathbf{0}, \sigma^2\mathbf{I})$ : un nuage circulaire centré sur le point moyen. Sur la cible, l'écart au point moyen a deux composantes (horizontale $X$ et verticale $Y$). Si chacune est gaussienne, centrée, de même écart-type $\sigma$ et **indépendante** de l'autre, l'impact suit une **loi normale bivariée** $\mathcal{N}(\mathbf{0}, \sigma^2\mathbf{I})$ : un nuage circulaire centré sur le point moyen.
  
-La **distance au centre** $R = \sqrt{X^2 + Y^2}$ suit alors la **loi de Rayleigh** :+La **distance au centre** $R = \sqrt{X^2 + Y^2}$ suit alors la **loi de Rayleigh** [3] :
  
 $$ f(r) = \frac{r}{\sigma^2}\exp\Bigl(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\Bigr), \qquad r \ge 0. $$ $$ f(r) = \frac{r}{\sigma^2}\exp\Bigl(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\Bigr), \qquad r \ge 0. $$
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 $$ \mathrm{SE}(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad\longrightarrow\quad \widehat{\mathrm{SE}}(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}}. $$ $$ \mathrm{SE}(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad\longrightarrow\quad \widehat{\mathrm{SE}}(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}}. $$
  
-En pratique $\sigma$ est inconnu : on le remplace par l'écart-type d'échantillon $s$, et c'est précisément cette substitution qui impose la **loi de Student** plutôt que la loi normale sur les petits échantillons.+En pratique $\sigma$ est inconnu : on le remplace par l'écart-type d'échantillon $s$, et c'est précisément cette substitution qui impose la **loi de Student** plutôt que la loi normale sur les petits échantillons [2].
  
 L'erreur-type décroît en $1/\sqrt{n}$ : pour **diviser par deux** l'incertitude, il faut **quatre fois plus** de tirs. Un **intervalle de confiance** à 95 % s'écrit approximativement $\bar{x} \pm 1{,}96\thinspace\mathrm{SE}$ — le facteur exact venant de Student, il est sensiblement plus grand sur un petit échantillon. L'erreur-type décroît en $1/\sqrt{n}$ : pour **diviser par deux** l'incertitude, il faut **quatre fois plus** de tirs. Un **intervalle de confiance** à 95 % s'écrit approximativement $\bar{x} \pm 1{,}96\thinspace\mathrm{SE}$ — le facteur exact venant de Student, il est sensiblement plus grand sur un petit échantillon.
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 $$ \hat{\theta} = \arg\min_{\theta} \sum_i w_i\bigl(y_i - f(x_i;\theta)\bigr)^2. $$ $$ \hat{\theta} = \arg\min_{\theta} \sum_i w_i\bigl(y_i - f(x_i;\theta)\bigr)^2. $$
  
-Les poids $w_i$ donnent plus d'importance aux mesures fiables. Sous l'hypothèse d'un bruit gaussien, cette méthode coïncide avec le **maximum de vraisemblance** (le jeu de paramètres rendant les données observées les plus probables). Pour la rigueur, on contrôle l'ajustement par **validation croisée** et on reporte des **intervalles de confiance** sur les paramètres.+Les poids $w_i$ donnent plus d'importance aux mesures fiables. Sous l'hypothèse d'un bruit gaussien, cette méthode coïncide avec le **maximum de vraisemblance** [2] (le jeu de paramètres rendant les données observées les plus probables). Pour la rigueur, on contrôle l'ajustement par **validation croisée** et on reporte des **intervalles de confiance** sur les paramètres.
  
 > **Au tir.** C'est la procédure de calibration individuelle du guidon (voir la [[technique:visee_dioptre|visée au dioptre]]) et l'ajustement des modèles de traînée (G1/G7) en [[technique:coefficient_balistique|balistique]]. > **Au tir.** C'est la procédure de calibration individuelle du guidon (voir la [[technique:visee_dioptre|visée au dioptre]]) et l'ajustement des modèles de traînée (G1/G7) en [[technique:coefficient_balistique|balistique]].
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 ## Références ## Références
  
-  - W. Feller, //An Introduction to Probability Theory and Its Applications//, Wiley, 1968. +Par ordre alphabétique d'auteur ; les renvois **[n]** dans le texte pointent vers cette liste. Ce sont trois traités généraux : ils fondent les résultats employés ici, aucun ne traite de tir. 
-  - A. Papoulis, //Probability, Random Variables and Stochastic Processes//, McGraw-Hill, 1991. + 
-  - R. A. Fisher, //Statistical Methods for Research Workers//, Oliver & Boyd, 1925.+1. Feller, W. — //An Introduction to Probability Theory and Its Applications//, Wiley, 1968. Théorème central limite et lois usuelles. 
 +2. Fisher, R. A. — //Statistical Methods for Research Workers//, Oliver & Boyd, 1925. Estimation sur petits échantillons, loi de Student et maximum de vraisemblance. 
 +3. Papoulis, A. — //Probability, Random Variables and Stochastic Processes//, McGraw-Hill, 1991. Lois bivariées, loi de Rayleigh et transformations de variables aléatoires.
  
 ## Voir aussi ## Voir aussi
technique/probabilites_statistiques.1785365256.txt.gz · Dernière modification : de 127.0.0.1