L'écart-type (SD) au chronographe : limites et rigueur statistique

L'analyse des vitesses initiales ($V_0$) au chronographe est courante en tir de précision. Les chiffres affichés par ces appareils, l'écart-type (SD) et l'écart extrême (ES), peuvent toutefois être mal interprétés et conduire à de fausses conclusions sur la qualité d'un rechargement.

Pour résumer une série de tirs au chronographe, trois indicateurs sont couramment utilisés :

• La Moyenne ($\bar{x}$) : La vitesse nominale de la munition. Elle converge rapidement et permet de calculer la trajectoire théorique globale.
• L'Écart-Type (SD - Standard Deviation) : Noté $s$ ou $SD$. Il mesure la dispersion moyenne des vitesses autour de la moyenne. C'est la racine carrée de la variance empirique (calculée avec le diviseur $n-1$, dit correction de Bessel, qui rend la variance juste en moyenne ; l'écart-type $s$ reste, lui, un peu en dessous du vrai en moyenne, d'environ 6 % sur 5 coups, voir les rappels de statistiques) : $$ s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2} $$
• L'Écart Extrême (ES ; extreme spread) : La différence brute entre la vitesse la plus rapide et la plus lente de la série ($V_{\text{max}} - V_{\text{min}}$).

Une erreur courante consiste à évaluer l'écart-type sur un échantillon trop petit (typiquement 5 ou 10 tirs). Si la moyenne converge rapidement vers sa vraie valeur, l'écart-type est très sensible au hasard et nécessite beaucoup plus de données pour se stabiliser.

Supposons que vous mesuriez un écart-type empirique de $3{,}5 \text{ m/s}$ sur votre chronographe. En appliquant la loi du $\chi^2$ pour un intervalle de confiance à 95 % (un intervalle construit de façon à contenir le vrai $SD$ du lot dans 95 % des séries mesurées), on obtient :

* Sur 5 tirs : Votre $SD$ de $3{,}5\text{ m/s}$ est compatible avec un SD réel de $10\text{ m/s}$. L'estimation est très imprécise.

• Sur 10 tirs : l'incertitude reste grande, et asymétrique — le tableau ci-dessus donne +83 % vers le haut pour −31 % vers le bas. C'est une propriété de la loi du $\chi^2$, non un accident de ce cas : un écart-type d'échantillon peut se tromper beaucoup plus en sous-estimant qu'en surestimant, ce qui doit rendre méfiant devant tout « bon » SD sur petit échantillon. Si vous comparez deux chargements mesurés à $3{,}4\text{ m/s}$ et $3{,}8\text{ m/s}$ sur 10 coups, on ne peut pas affirmer que le premier est meilleur : le rapport des variances vaut 1,25, très loin du seuil de 4,03 qu'exigerait un test de Fisher bilatéral à 95 % (3,18 en test unilatéral, qui ne demande que « le premier est-il meilleur ? »).
• Recommandation pratique : Comptez 15 à 20 coups au minimum pour dégager une tendance, et 30 à 40 coups pour valider la régularité d'un lot avant une compétition.

Pour expérimenter cette convergence en direct ou simuler des tirages, utilisez l'Analyseur de données de chronographe du site ou lisez le Notebook Julia interactif sur la convergence de l'écart-type.

L'ES est très utilisé sur les pas de tir car il est simple à calculer. D'un point de vue statistique, c'est cependant un indicateur moins fiable que l'écart-type :

1. Il dépend de la taille de l'échantillon : Plus vous tirez de cartouches, plus vous avez de chances de capturer une valeur extrême. L'ES augmente donc en moyenne avec $n$. L'ES d'une série de 5 tirs et celui d'une série de 20 tirs ne sont pas comparables.
2. Il n'utilise que deux valeurs : le tir le plus lent et le plus rapide. Sur 20 tirs, les 18 autres n'y entrent pas. Une seule cartouche aberrante le fait donc fortement augmenter : sur une série de 20 tirs à SD $3{,}5\text{ m/s}$, un coup à $-15\text{ m/s}$ fait monter l'ES médian de 65 % (simulation). L'écart-type n'est pas insensible à ce coup pour autant, puisqu'il élève les écarts au carré : il monte de 38 % dans le même cas. C'est pourquoi la question des coups aberrants (plus bas) compte aussi pour lui.

La dispersion que vous mesurez n'est pas celle de vos cartouches seules : le bruit de mesure de l'appareil s'y ajoute, et comme il est indépendant, il s'ajoute en variance : $$ s_{\text{mesuré}}^2 = s_{\text{réel}}^2 + s_{\text{appareil}}^2 $$

L'exactitude annoncée n'est pas inutile pour autant : elle porte sur la moyenne. Pour confronter la V₀ moyenne du chrono à des impacts, son incertitude se compose de l'erreur-type $s/\sqrt{n}$ et de cette exactitude, et non du SD de la série (voir la pondération par la précision).

Pour un chronographe optique à cellules, en revanche, une part de l'erreur est bien aléatoire d'un coup à l'autre : elle vient de la résolution de l'horloge et du point de déclenchement sur le projectile. La part due à l'horloge se calcule. Avec des cellules espacées de $0{,}6\text{ m}$, un projectile à $800\text{ m/s}$ met $0{,}75\text{ ms}$ à les franchir. Le compteur arrondit ce temps à un nombre entier de périodes d'horloge : l'erreur atteint au plus une période, mais son écart-type n'en vaut qu'environ $1/\sqrt{6} \approx 0{,}41$. C'est cet écart-type, et non l'erreur maximale, qui s'ajoute en variance :

(Valeurs confirmées par simulation d'un compteur à départ aléatoire, sur 400 000 passages.)

S'y ajoutent les conditions de lumière, le point de déclenchement sur le projectile et l'alignement, qui ne se calculent pas. La quantification seule n'explique donc pas l'incertitude de l'ordre du mètre par seconde souvent citée pour ces appareils : elle en fournit au mieux un peu moins de la moitié sur une horloge à 1 MHz.

Conséquence pratique : un lot à $2\text{ m/s}$ mesuré sur un optique à 1 MHz s'affichera vers $2{,}05\text{ m/s}$ du fait de l'horloge seule. L'effet reste faible, sauf si les autres sources d'erreur de l'appareil s'y ajoutent. Sur un radar, la correction n'a aucune valeur connue, et surtout pas celle de l'exactitude annoncée.

Lorsqu'un tir s'écarte fortement de la moyenne (ex: un tir à $-15\text{ m/s}$ sur une série régulière), il peut être tentant de le supprimer de la mémoire pour réduire le SD.

• La règle de rigueur : On ne supprime un tir que si l'on a identifié et annoncé une faute physique au moment du lâcher (coup de doigt, mauvaise position, vent violent).
• Effet d'une exclusion arbitraire : Si vous supprimez des points après coup sans justification objective, vous faussez votre estimation et sous-estimez le risque de dispersion verticale réelle en cible. Le calculateur balistique sous-estimera alors la dispersion verticale à longue distance, donc surestimera la probabilité de toucher. Les corrections de hausse, elles, dépendent de la vitesse moyenne, pas du SD.

Un écart-type de vitesse $SD_{V_0}$ se traduit directement par une dispersion verticale sur la cible, car les variations de vitesse modifient le temps de vol du projectile et donc sa chute sous l'effet de la gravité.

À l'aide de la sensibilité balistique $\frac{\partial Y}{\partial V_0}$ (la déviation verticale induite en cible par une variation de vitesse de $1\text{ m/s}$, calculable via un simulateur), on estime l'écart-type vertical théorique sur la cible par : $$ SD_{\text{vertical_cible}} = \left| \frac{\partial Y}{\partial V_0} \right| \cdot SD_{V_0} $$

La dispersion totale observée en cible combine plusieurs sources d'erreurs indépendantes (le tireur, l'arme, le vent, la vitesse). Leurs écarts-types ne s'additionnent pas linéairement ; ce sont leurs variances (les carrés des écarts-types) qui s'additionnent : $$\begin{aligned} & \sigma_{\text{total}}^2 = \sigma_{\text{tireur}}^2 + \sigma_{\text{arme}}^2 \\ & \quad + \sigma_{\text{vent}}^2 + \left( \left| \frac{\partial Y}{\partial V_0} \right| \cdot SD_{V_0} \right)^2 \end{aligned}$$

• La conséquence du facteur dominant : La plus grande source d'erreur masque largement les plus petites. Si le tireur a une dispersion de $1{,}5\text{ MOA}$ et que la dispersion due à la vitesse est de $0{,}3\text{ MOA}$, la dispersion totale sera de $\sqrt{1{,}5^2 + 0{,}3^2} \approx 1{,}53\text{ MOA}$. Réduire le SD de vitesse à zéro ne changera quasiment rien en cible tant que la technique de tir (ou la lecture du vent) n'aura pas été améliorée.

Pour aller plus loin et appliquer ces principes à vos propres tirs :

• Analyseur de données de chronographe : Importez ou collez vos vitesses au chronographe pour calculer vos moyennes, SD, intervalles de confiance précis (Student/Chi2) et visualiser graphiquement la convergence.
• Outil de dispersion balistique : Calculez l'impact exact de votre SD de vitesse sur votre dispersion en cible en cm et en MOA selon votre calibre et votre distance.
• Annexe D — Fondements statistiques : Retrouvez le développement rigoureux des lois de Student et du $\chi^2$ pour le tir, ainsi que les facteurs de tolérance exacts (loi de Student non centrée) que prescrit la C.I.P. ; les tables de certains manuels (Malfatti) donnent l'approximation de Natrella, un peu plus basse.
• Rappels de probabilités et statistiques : Page globale reprenant les notions de loi de Rayleigh pour la dispersion circulaire en cible et l'information de Fisher.

Page vérifiée. Ce qui a été recalculé, ce qui a été rectifié et ce qui n'a pas pu être établi figurent sur la fiche de vérification.