Annexe D — Fondements statistiques pour le tir de précision

Étant donné n observations x₁, x₂, …, x_n (par ex. des vitesses initiales mesurées au chronographe), la moyenne est :

La moyenne est un estimateur sans biais de la moyenne de population μ. Sa précision s'améliore avec n : l'erreur standard de x̄ est σ/√n.

La variance est :

et l'écart-type est s = √s². Le diviseur n−1 (correction de Bessel) donne un estimateur sans biais de la variance de population σ².

Extreme Spread vs. écart-type

La plupart des chronographes indiquent l'extreme spread (ES = x_max − x_min). Bien qu'intuitif, l'ES est une métrique médiocre car il est très sensible à la taille de l'échantillon. L'écart-type s ne souffre pas de ce biais et devrait être préféré pour toute comparaison rigoureuse.

Les méthodes statistiques de cette annexe reposent sur l'hypothèse que la quantité mesurée suit une loi normale (gaussienne). Cette hypothèse est bien étayée empiriquement pour la vitesse initiale et le poids des douilles, où la variation résulte de la superposition de nombreux facteurs indépendants (tolérance de charge, brisance de l'amorce, tension de collet, température, etc.). Par le théorème central limite, de telles sommes convergent vers une loi normale.

La loi normale centrée réduite Z ~ N(0,1) possède les propriétés suivantes :

• P(μ − σ < X < μ + σ) ≈ 68,27 %
• P(μ − 2σ < X < μ + 2σ) ≈ 95,45 %
• P(μ − 3σ < X < μ + 3σ) ≈ 99,73 %

Pour le rechargeur, la « règle des 3σ » signifie qu'un tir déviant de la moyenne de plus de trois écarts-types est attendu environ une fois tous les 370 tirs.

Quantiles de la loi normale

Lorsque σ est connu, la moyenne centrée réduite suit une loi normale. En pratique, σ doit être estimé par s, et la quantité

suit une loi de Student à ν = n−1 degrés de liberté, avec des queues plus épaisses que la loi normale, reflétant l'incertitude supplémentaire liée à l'estimation de σ. Quand ν → ∞, la loi de Student converge vers la loi normale.

Quantiles de la loi de Student

La loi du χ² apparaît naturellement dans l'évaluation de la variabilité d'un échantillon. Si X₁, …, X_n sont des variables normales centrées réduites indépendantes, la somme de leurs carrés suit une loi du χ² à n degrés de liberté.

En pratique, elle gouverne la distribution de la variance échantillonnale :

Cette relation est utilisée pour construire des intervalles de confiance pour σ² et apparaît dans le facteur de tolérance de Lieberman–Resnikoff.

Quantiles de la loi du χ²

Un intervalle de confiance fournit une plage qui contient μ avec une probabilité spécifiée.

Variance connue

Pour un intervalle à 95 %, z_0,025 = 1,960.

Variance inconnue (Student)

Pour les petits n (typiques au banc), la loi de Student produit des intervalles plus larges, reflétant correctement l'incertitude supplémentaire.

Exemple pratique

Un rechargeur tire n = 10 coups et mesure x̄ = 2 750 fps avec s = 12 fps. L'intervalle de confiance à 95 % pour la vitesse moyenne vraie est :

soit [2 741,4 ; 2 758,6] fps.

En tir de précision, la préoccupation n'est souvent pas la moyenne mais le pire cas : quelle est la vitesse maximale (et donc la pression maximale) qu'une charge pourrait produire ? Cela nécessite une borne de confiance unilatérale supérieure.

Borne de tolérance pour les valeurs individuelles

Sous hypothèse de normalité, la borne de tolérance unilatérale supérieure couvrant une proportion β avec confiance γ est :

Approximation de Lieberman–Resnikoff

Lieberman et Resnikoff (1955) fournissent une approximation pratique qui évite les tables de la loi de Student non centrée :

Application : vitesse maximale attendue

Avec n = 10 tirs, x̄ = 2 750 fps et s = 12 fps, en utilisant k = 2,568 :

Le rechargeur peut affirmer avec 95 % de confiance qu'au moins 95 % des tirs ne dépasseront pas environ 2 781 fps.

L'approximation de Lieberman–Resnikoff fournit une formule commode. Cependant, les facteurs de tolérance exacts — y compris ceux prescrits par la C.I.P. pour le contrôle de conformité des pressions — sont dérivés de la loi de Student non centrée. Cette section développe le lien mathématique, en suivant l'analyse présentée par René Malfatti.

Énoncé du problème

Soit X ~ N(μ, σ²) la pression d'une cartouche, où μ et σ sont inconnus. À partir d'un échantillon de taille n, on cherche le facteur k tel que la borne de tolérance x̄ + k · s couvre au moins une proportion p de la population avec confiance γ.

Réduction à la loi non centrée

La condition de couverture interne exige :

En réarrangeant et multipliant par √n, on identifie deux variables aléatoires classiques :

• Z = (x̄ − μ) / (σ/√n) ~ N(0,1)
• V = (n−1)s² / σ² ~ χ²_n−1

En écrivant s/σ = √[V/(n−1)], le membre de droite prend la forme :

où δ = z_p√n est une constante fixe.

Définition

Si Z ~ N(0,1) et V ~ χ²_ν sont indépendants, le rapport

suit la loi de Student non centrée à ν degrés de liberté et paramètre de non-centralité δ, notée T' ~ t'(ν, δ). Quand δ = 0, on retrouve la loi de Student ordinaire.

Solution pour le facteur de tolérance

L'exigence de confiance est satisfaite lorsque k√n égale le quantile d'ordre γ de la loi non centrée :

avec ν = n−1 et δ = z_p√n.

Vérification : paramètres C.I.P.

La C.I.P. spécifie γ = 0,95 et p = 0,99, soit z_0,99 ≈ 2,3263. Pour n = 5 :

• Degrés de liberté : ν = 4
• Paramètre de non-centralité : δ = 2,3263 × √5 ≈ 5,2017
• Tables : t'_{0,95; 4; 5,2017} ≈ 12,856

On retrouve précisément la valeur prescrite par la C.I.P.

L'approximation de Lieberman–Resnikoff évite les tables de la loi non centrée en substituant des quantités plus simples. Sa précision s'améliore avec n, mais peut dévier sensiblement pour les très petits échantillons — précisément le régime où les facteurs exacts importent le plus pour les applications critiques comme le contrôle de conformité C.I.P.