Annexe D — Fondements statistiques pour le tir de précision

Étant donné n observations x₁, x₂, …, x_n (par ex. des vitesses initiales mesurées au chronographe), la moyenne est :

La moyenne est un estimateur sans biais de la moyenne de population μ. Sa précision s'améliore avec n : l'erreur standard de x̄ est σ/√n.

La variance est :

et l'écart-type est s = √s². Le diviseur n−1 (correction de Bessel) donne un estimateur sans biais de la variance de population σ².

Extreme Spread vs. écart-type

La plupart des chronographes indiquent l'extreme spread (ES = x_max − x_min). Bien qu'intuitif, l'ES est une métrique médiocre car il est très sensible à la taille de l'échantillon. L'écart-type s ne souffre pas de ce biais et devrait être préféré pour toute comparaison rigoureuse.

Les méthodes statistiques de cette annexe reposent sur l'hypothèse que la quantité mesurée suit une loi normale (gaussienne). L'hypothèse tient pour la vitesse initiale et pour le poids des douilles, où la variation résulte de la superposition de nombreux facteurs indépendants (tolérance de charge, brisance de l'amorce, tension de collet, température, etc.). Par le théorème central limite, de telles sommes convergent vers une loi normale.

La loi normale centrée réduite Z ~ N(0,1) possède les propriétés suivantes :

• P(μ − σ < X < μ + σ) ≈ 68,27 %
• P(μ − 2σ < X < μ + 2σ) ≈ 95,45 %
• P(μ − 3σ < X < μ + 3σ) ≈ 99,73 %

Pour le rechargeur, la « règle des 3σ » signifie qu'un tir déviant de la moyenne de plus de trois écarts-types est attendu environ une fois tous les 370 tirs.

Quantiles de la loi normale

Lorsque σ est connu, la moyenne centrée réduite suit une loi normale. En pratique, σ doit être estimé par s, et la quantité

suit une loi de Student à ν = n−1 degrés de liberté, avec des queues plus épaisses que la loi normale, reflétant l'incertitude supplémentaire liée à l'estimation de σ. Quand ν → ∞, la loi de Student converge vers la loi normale.

Quantiles de la loi de Student

La loi du χ² apparaît naturellement dans l'évaluation de la variabilité d'un échantillon. Si X₁, …, X_n sont des variables normales centrées réduites indépendantes, la somme de leurs carrés suit une loi du χ² à n degrés de liberté.

En pratique, elle gouverne la distribution de la variance échantillonnale :

Cette relation est utilisée pour construire des intervalles de confiance pour σ² et apparaît dans le facteur de tolérance de Lieberman–Resnikoff.

Quantiles de la loi du χ²

Un intervalle de confiance fournit une plage qui contient μ avec une probabilité spécifiée.

Variance connue

Pour un intervalle à 95 %, z_0,025 = 1,960.

Variance inconnue (Student)

Pour les petits n (typiques au banc), la loi de Student produit des intervalles plus larges, reflétant correctement l'incertitude supplémentaire.

Exemple pratique

Un rechargeur tire n = 10 coups et mesure x̄ = 2 750 fps avec s = 12 fps. L'intervalle de confiance à 95 % pour la vitesse moyenne vraie est :

soit [2 741,4 ; 2 758,6] fps.

En tir de précision, la préoccupation n'est souvent pas la moyenne mais le pire cas : quelle est la vitesse maximale (et donc la pression maximale) qu'une charge pourrait produire ? Cela nécessite une borne de confiance unilatérale supérieure.

Borne de tolérance pour les valeurs individuelles

Sous hypothèse de normalité, la borne de tolérance unilatérale supérieure couvrant une proportion β avec confiance γ est :

Approximation de Lieberman–Resnikoff

Lieberman et Resnikoff (1955) fournissent une approximation pratique qui évite les tables de la loi de Student non centrée :

L'ordre du quantile du χ² mérite qu'on s'y arrête, car on écrit volontiers χ²_γ par habitude et le résultat n'est pas seulement imprécis, il est absurde. Une borne de tolérance supérieure doit protéger du cas où s a sous-estimé le vrai σ : c'est la queue basse de s², donc le quantile bas du χ² — celui d'ordre 1−γ, soit la colonne p = 0,050 pour γ = 0,95, comme la section D.5 le dit déjà. Avec le quantile haut, on obtient k = 1,34 pour n = 5 : en dessous de la valeur asymptotique z_0,95 = 1,645, ce qui reviendrait à dire que cinq tirs bornent la population plus étroitement qu'un échantillon infini.

Deux traits de ce tableau demandent l'attention. D'abord, l'approximation est toujours basse, et un facteur de tolérance trop petit donne une borne trop serrée — le sens permissif. Quand la borne sert à une décision de sécurité, arrondir la valeur exacte vers le haut. Ensuite, l'écart ne décroît pas régulièrement avec n : il est le plus faible pour les tout petits échantillons (moins de 1 % à n = 5, moins de 0,1 % à n = 4), le plus fort entre 20 et 50, et ne s'améliore qu'ensuite. L'approximation est au mieux là où l'on aurait attendu qu'elle fût au pire.

Noter aussi l'ampleur de ces facteurs. À n = 5, le multiplicateur vaut 4,20 — plus de quatre écarts-types — parce que le s calculé sur cinq tirs est lui-même une estimation très imprécise de σ. Le niveau de confiance n'est pas gratuit : exiger 95 % au lieu de 90 % fait passer le facteur de 3,40 à 4,20 à n = 5, près d'un quart de plus.

Application : vitesse maximale attendue

Avec n = 10 tirs, x̄ = 2 750 fps et s = 12 fps, en utilisant le k exact de 2,911 :

Le rechargeur peut affirmer avec 95 % de confiance qu'au moins 95 % des tirs ne dépasseront pas environ 2 785 fps. L'approximation de Lieberman–Resnikoff aurait donné 2 784,1 fps — proche, mais du côté optimiste, comme toujours.

L'approximation de Lieberman–Resnikoff fournit une formule commode. Cependant, les facteurs de tolérance exacts — y compris ceux prescrits par la C.I.P. pour le contrôle de conformité des pressions — sont dérivés de la loi de Student non centrée. Cette section développe le lien mathématique, en suivant l'analyse présentée par René Malfatti.

Énoncé du problème

Soit X ~ N(μ, σ²) la pression d'une cartouche, où μ et σ sont inconnus. À partir d'un échantillon de taille n, on cherche le facteur k tel que la borne de tolérance x̄ + k · s couvre au moins une proportion p de la population avec confiance γ.

Réduction à la loi non centrée

La condition de couverture interne exige :

En réarrangeant et multipliant par √n, on identifie deux variables aléatoires classiques :

• Z = (x̄ − μ) / (σ/√n) ~ N(0,1)
• V = (n−1)s² / σ² ~ χ²_n−1

En écrivant s/σ = √[V/(n−1)], le membre de droite prend la forme :

où δ = z_p√n est une constante fixe.

Définition

Si Z ~ N(0,1) et V ~ χ²_ν sont indépendants, le rapport

suit la loi de Student non centrée à ν degrés de liberté et paramètre de non-centralité δ, notée T' ~ t'(ν, δ). Quand δ = 0, on retrouve la loi de Student ordinaire.

Solution pour le facteur de tolérance

L'exigence de confiance est satisfaite lorsque k√n égale le quantile d'ordre γ de la loi non centrée :

avec ν = n−1 et δ = z_p√n.

Vérification : paramètres C.I.P.

La C.I.P. spécifie γ = 0,95 et p = 0,99, soit z_0,99 = 2,32635. Pour n = 5 :

• Degrés de liberté : ν = 4
• Paramètre de non-centralité : δ = 2,32635 × √5 ≈ 5,2018
• Quantile non centré : t'_{0,95; 4; 5,2018} = 12,8375

On retrouve précisément la valeur prescrite par la C.I.P.

L'arrondi est délibérément fait vers le haut. Pour un critère de conformité, un k arrondi vers le bas abaisse la borne et laisse passer un lot qui aurait dû être refusé : le sens de l'erreur d'arrondi compte davantage que son ampleur. Ce sont les valeurs employées par la section sécurité, et elles doivent s'accorder avec elle.

L'approximation de Lieberman–Resnikoff évite les tables de la loi non centrée en substituant des quantités plus simples. Elle est juste à quelques pour cent sur tout le domaine utile et — contrairement à ce qu'on attendrait — c'est pour les plus petits échantillons qu'elle est la plus fidèle. Ce qu'elle n'est pas, c'est conservatrice : elle passe sous le facteur exact à toutes les tailles d'échantillon, et un critère de conformité bâti dessus accepterait des lots que le critère exact refuse. Pour le travail critique comme le contrôle de pression C.I.P., utiliser les facteurs exacts du tableau ci-dessus.