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Mesurer un groupement : rayon moyen et extreme spread
Devant une cible criblée, tout le monde attrape le pied à coulisse et mesure les deux impacts les plus écartés. C'est l'extreme spread — le « groupement » au sens courant. Il a deux qualités : il se mesure en dix secondes, et il ne demande aucun calcul.
Il a aussi un défaut que sa simplicité masque : sa valeur dépend du nombre de coups tirés. Un groupe de 10 est mécaniquement plus large qu'un groupe de 5 tirés par la même arme, sans que rien n'ait changé ni dans l'arme ni dans la munition. Comparer les deux n'a donc aucun sens — et c'est pourtant ce que font la plupart des comparaisons qu'on lit.
Le rayon moyen (mean radius) n'a pas ce défaut. Cette page explique ce que chacune des deux mesures dit réellement, et ce qu'un groupe unique permet — ou ne permet pas — de conclure.
Le modèle statistique utilisé ici (loi normale bivariée, loi de Rayleigh) est établi sur la page Rappels de probabilités et statistiques. On le reprend ici sans le redémontrer.
1. Les deux mesures
On note $\sigma$ l'écart-type de la dispersion sur un axe — la grandeur qui caractérise réellement l'arme et sa munition. C'est elle qu'on cherche à estimer ; ni le rayon moyen ni l'extreme spread ne sont autre chose que des estimateurs de $\sigma$.
- L'extreme spread (ES) — la plus grande distance entre deux impacts du groupe, mesurée d'axe à axe. Sur cible, on mesure de bord extérieur à bord extérieur puis on retranche un diamètre de balle, ce qui revient au même.
- Le rayon moyen (RM) — la distance moyenne de chaque impact au centre du groupe, ce centre étant lui-même la moyenne des impacts.
$$RM = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} \sqrt{(x_i - \bar{x})^2 + (y_i - \bar{y})^2}$$
La différence tient en une phrase : l'ES ne regarde que deux impacts, le rayon moyen les regarde tous.
2. Le rayon moyen, et son biais à petit nombre de coups
Si les impacts suivent une loi normale bivariée circulaire d'écart-type $\sigma$ par axe, la distance d'un impact au vrai centre suit une loi de Rayleigh, de moyenne $\sigma\sqrt{\pi/2} \approx 1{,}253,\sigma$.
Mais on ne connaît jamais le vrai centre : on mesure les distances au centre estimé sur le groupe lui-même. Or ce centre estimé est tiré vers les impacts, donc il les rapproche artificiellement. L'espérance du rayon moyen mesuré vaut :
$$\mathbb{E}[RM] = \sigma\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1 - \frac{1}{N}}$$
| $N$ | $\mathbb{E}[RM]$ | Biais vis-à-vis de $1{,}253,\sigma$ |
|---|---|---|
| 3 | $1{,}023,\sigma$ | −18 % |
| 5 | $1{,}121,\sigma$ | −11 % |
| 10 | $1{,}189,\sigma$ | −5 % |
| 20 | $1{,}222,\sigma$ | −2,5 % |
| 50 | $1{,}241,\sigma$ | −1 % |
À retenir. Sur un groupe de 5, le rayon moyen mesuré sous-estime la dispersion réelle de 11 %. Pour remonter à $\sigma$ sans biais :
$$\hat{\sigma} = \frac{RM}{\sqrt{\pi/2},\sqrt{1 - 1/N}}$$
3. L'extreme spread ne converge pas
Le rayon moyen tend vers une valeur fixe quand on ajoute des coups. L'extreme spread, non : chaque coup supplémentaire est une chance de plus de tomber loin, donc l'ES ne peut que croître.
| $N$ | $\mathbb{E}[ES]$ | Rapport $ES/RM$ |
|---|---|---|
| 2 | $1{,}772,\sigma$ | 2,00 |
| 3 | $2{,}411,\sigma$ | 2,35 |
| 5 | $3{,}066,\sigma$ | 2,74 |
| 10 | $3{,}815,\sigma$ | 3,21 |
| 20 | $4{,}451,\sigma$ | 3,64 |
| 50 | $5{,}190,\sigma$ | 4,18 |
(Seul le cas $N = 2$ a une forme analytique, $\sigma\sqrt{\pi}$ ; les autres valeurs viennent d'une simulation de 400 000 groupes.)
Deux conséquences pratiques, et ce sont les seules choses vraiment importantes de cette page :
1. Un extreme spread ne se compare qu'à nombre de coups égal. Une arme qui groupe en 25 mm sur 5 coups et une autre en 30 mm sur 10 coups : c'est la seconde qui est la plus précise. Rapportées à $\sigma$, elles donnent $25/3{,}07 = 8{,}2$ contre $30/3{,}81 = 7{,}9$.
2. Il n'existe pas de facteur de conversion universel entre extreme spread et rayon moyen. Le rapport passe de 2,0 à 4,2 selon le nombre de coups. Toute règle du type « le rayon moyen vaut le tiers du groupement » est fausse dès qu'on change de $N$.
4. Le vrai défaut de l'extreme spread n'est pas celui qu'on croit
On lit souvent que l'ES « jette l'information » puisqu'il n'utilise que deux impacts sur $N$. C'est vrai en principe, mais l'effet est modeste, et il vaut d'être chiffré plutôt qu'asséné. Erreur-type relative de l'estimation de $\sigma$ :
| $N$ | Par le rayon moyen | Par l'extreme spread |
|---|---|---|
| 5 | 26 % | 27 % |
| 10 | 17 % | 19 % |
| 20 | 12 % | 15 % |
Sur un groupe de 5, les deux mesures se valent presque. L'écart ne se creuse qu'en montant en nombre de coups — et il reste modéré.
Le reproche à faire à l'extreme spread n'est donc pas d'être bruité, mais de ne pas avoir de référence fixe : sa valeur attendue bouge avec $N$, ce qui interdit toute comparaison entre séries de tailles différentes. Le rayon moyen, lui, corrigé de son biais, estime toujours la même chose.
5. Ce qu'un groupe unique permet de conclure
Peu, et c'est le point le plus utile de cette page. Intervalle à 95 % sur $\sigma$ estimé à partir d'un seul groupe (en pourcentage de la vraie valeur) :
| $N$ | Par le rayon moyen | Par l'extreme spread |
|---|---|---|
| 3 | 37 – 178 % | 37 – 180 % |
| 5 | 53 – 154 % | 52 – 158 % |
| 10 | 68 – 136 % | 65 – 142 % |
| 20 | 77 – 124 % | 74 – 132 % |
Un groupe de 5 coups situe la dispersion réelle entre la moitié et une fois et demie de ce qu'on a mesuré. Deux chargements dont les groupes diffèrent de 20 % sont donc indiscernables sur un groupe chacun — la conclusion rejoint celle établie pour les vitesses sur la page L'écart-type au chronographe.
Combien de coups faut-il ?
Accumuler plusieurs groupes revient à accumuler des coups. Erreur-type sur $\sigma$, par le rayon moyen :
| Protocole | Coups | Erreur-type |
|---|---|---|
| 1 groupe de 5 | 5 | 26 % |
| 3 groupes de 5 | 15 | 15 % |
| 5 groupes de 5 | 25 | 12 % |
| 10 groupes de 5 | 50 | 8 % |
Il faut une cinquantaine de coups pour connaître la dispersion d'une arme à 10 % près. C'est beaucoup, et c'est la raison pour laquelle les comparaisons de chargements fondées sur un groupe de 3 ou 5 sont, statistiquement, sans valeur.
6. En résumé
- L'extreme spread ne se compare qu'à nombre de coups égal. Entre 5 et 10 coups, la valeur attendue passe de $3{,}07,\sigma$ à $3{,}81,\sigma$ sans qu'aucun paramètre physique n'ait bougé.
- Le rayon moyen mesuré est biaisé bas à petit $N$ — de 11 % sur un groupe de 5 — mais le biais se corrige exactement, par $\sqrt{1 - 1/N}$.
- Aucune conversion universelle entre les deux mesures : le rapport dépend de $N$.
- Un groupe unique ne conclut rien. Comptez une cinquantaine de coups pour situer la dispersion à 10 % près.
Voir aussi
- Rappels de probabilités et statistiques pour le tireur — loi normale bivariée, loi de Rayleigh, CEP et R95.
- L'écart-type (SD) au chronographe — le même problème d'échantillonnage, appliqué aux vitesses.
- Générateur de cibles — pour imprimer les cibles servant à ces mesures.
Page vérifiée. Ce qui a été recalculé, ce qui a été simulé et ce qui n'a pas pu être établi figurent sur la fiche de vérification.