Vérification — L'écart-type au chronographe

Fiche de traçabilité de l'article L'écart-type (SD) au chronographe. Voir la méthode.

Cette page est presque entièrement calculatoire : chaque chiffre y est ou bien vérifiable exactement, ou bien une spécification de matériel. Les deux ont été traités séparément.

• Tous les intervalles de confiance ont été recalculés, avec la même formule que celle de la loi du $\chi^2$ : $\sigma \in \left[ s\sqrt{(n-1)/\chi^2_{1-\alpha/2}} \mskip5mu ; \mskip5mu s\sqrt{(n-1)/\chi^2_{\alpha/2}} \right]$.
• Le code de l'outil du site a été lu, pas seulement la page : notebooks/chronographe.js applique exactement la même formule. La page et l'outil sont cohérents.
• Les spécifications des chronographes ont été confrontées aux annonces des constructeurs.
• Les six liens de la page ont été suivis — les cinq outils du site répondent, et le lien relatif vers technique/probabilites_statistiques est bien résolu en lien wiki par le rendu.

C'est le cœur de la page, et il est exact au dixième sur les huit bornes :

Sont également justes : la correction de Bessel et sa justification, l'addition en variance des sources indépendantes, et l'exemple du théorème de Pythagore des erreurs ($\sqrt{1{,}5^2 + 0{,}3^2} = 1{,}53$ MOA). La démonstration que le facteur dominant masque les autres est correcte et bien choisie.

Sous le tableau, la ligne consacrée à 10 tirs annonçait une incertitude « d'environ ±40 % ». Le tableau situé quatre lignes au-dessus donne $+83\ \%$ / $-31\ \%$.

Ce n'est pas un arrondi : c'est une symétrisation, qui efface la propriété la plus utile de la loi du $\chi^2$. L'incertitude sur un écart-type d'échantillon est franchement asymétrique — un « bon » SD sur petit échantillon a beaucoup plus de latitude pour être en réalité mauvais que l'inverse. Le paragraphe dit maintenant l'asymétrie et explique ce qu'elle implique pour le lecteur.

Le même paragraphe affirmait qu'on ne peut pas distinguer deux chargements à $3{,}4$ et $3{,}8\text{ m/s}$ sur 10 coups. C'est vrai, et le calcul a été ajouté pour qu'on n'ait pas à le croire : le rapport des variances vaut 1,25 pour un seuil de Fisher à 4,03.

La page écrivait que les radars balistiques « réduisent drastiquement cette erreur instrumentale ($< 0{,}5\text{ m/s}$) », à comparer aux $1{,}5$ à $2\text{ m/s}$ d'un chronographe optique, le tout injecté dans $s_{\text{mesuré}}^2 = s_{\text{réel}}^2 + s_{\text{appareil}}^2$.

Deux problèmes, dont le second est le vrai.

Le chiffre. Garmin et LabRadar annoncent tous deux $\pm 0{,}1\ \%$, ce qui vaut $0{,}8\text{ m/s}$ à $800\text{ m/s}$ — pas $0{,}5$. Le seuil annoncé n'était atteint qu'en dessous de $500\text{ m/s}$.

La catégorie. Cette spécification est une exactitude, c'est-à-dire pour l'essentiel une erreur d'échelle : un appareil qui lit 0,1 % trop haut lit 0,1 % trop haut à chaque coup. Une erreur d'échelle déplace la moyenne et ne gonfle l'écart-type que de 0,1 % de lui-même — $0{,}0035\text{ m/s}$ sur un SD de $3{,}5$. Elle n'a rien à faire dans $s_{\text{appareil}}$.

L'injecter comme du bruit coup par coup n'est pas anodin : sur un lot réellement à $2\text{ m/s}$, $\sqrt{2^2 + 0{,}8^2} = 2{,}15$, soit près de 8 % d'inflation imaginaire — sur des SD que les rechargeurs comparent au dixième.

Ce qui entre dans $s_{\text{appareil}}$ est la répétabilité, la dispersion de mesures répétées du même projectile. Aucun constructeur ne la publie. La page dit maintenant qu'on ne connaît pas ce terme pour un radar, au lieu de lui donner une valeur empruntée à une autre grandeur.

L'« exactitude » de ±0,1 % annoncée par les radars est le terme du fabricant. Au sens du VIM (JCGM 200:2012, § 2.13 et 2.14), c'est une borne sur l'erreur systématique, donc sur la justesse ; la page le précise désormais, avec un renvoi à la section de vocabulaire de Probabilités et statistiques. Le raisonnement de la page (une erreur d'échelle déplace la moyenne sans gonfler le SD) n'en change pas.

• Le seuil « ES > 25 m/s signale un problème physique » : c'est un repère d'atelier, sans source. Il est plausible et présenté comme un garde-fou, pas comme une règle — mais il n'est adossé à rien.
• Les recommandations de 15-20 puis 30-40 coups : ce sont des conseils, cohérents avec le tableau, mais aucun critère n'est explicité pour les justifier (quelle largeur d'intervalle est jugée acceptable, et pour quelle décision).
• « Il ignore 90 % de l'information » n'est exact qu'à $n = 20$, le cas que le texte prend juste après. La formule vaut pour l'exemple, pas en général.
• La répétabilité réelle des radars : c'est précisément le chiffre qui manque, et il faudrait le mesurer soi-même — plusieurs mesures simultanées du même coup par deux appareils — pour le donner honnêtement. Piste ouverte.
• La sensibilité balistique $\partial Y / \partial V_0$ est décrite mais jamais chiffrée sur cette page ; l'outil de dispersion du site la calcule et n'a pas été confronté ici.
• Le notebook Julia sur la convergence n'a pas été ré-exécuté ; seul le JS de l'analyseur a été lu.

L'article renvoie à l'analyseur de chronographe pour « calculer des intervalles de confiance précis ». L'outil n'avait jamais été vérifié. Il l'a été après qu'une relecture de sa traduction a fait apparaître une erreur d'affichage (voir la fiche de la version anglaise).

Ce qui a été fait. Le code a été lu en entier. Chaque calcul a été confronté à une implémentation indépendante (SciPy), sur cinq séries et aux trois niveaux de confiance. L'import a été éprouvé sur un vrai rapport LabRadar (29 coups, publié par un banc d'essai comparatif) et sur un export Garmin Xero reconstruit d'après son format documenté (colonnes et lignes de synthèse). Enfin, l'outil a été utilisé de bout en bout dans un navigateur, fichier compris, dans les deux langues.

Moyenne, écart-type, intervalle de Student sur la moyenne, intervalle du χ² sur l'écart-type (quantiles dans le bon sens), ES : tout concorde avec SciPy à 2·10⁻¹⁰ près. Le niveau de confiance est bien transmis en α.

La page promettait de lire les exports de chronographe (« une colonne d'index est écartée »). En réalité, l'outil extrayait tous les nombres du fichier et gardait ceux qui ressemblaient à une vitesse. Or un export ne contient pas que des vitesses à la bouche :

Les vitesses à distance (V1 à V10), les énergies (Ke0 à Ke10) et les statistiques de l'appareil passaient toutes le filtre. Un export Garmin porte l'énergie en ft·lb, du même ordre qu'une vitesse en fps pour une balle de 170 à 180 grains, et elle passait de même. Rien ne le signalait, à part un compte de nombres « écartés ».

L'outil lit désormais la colonne de vitesse à la bouche désignée par son en-tête (V0, SPEED, vitesse…), dans l'unité que le fichier déclare, et affiche la colonne qu'il a lue. Sur le rapport LabRadar, il retrouve 29 coups et un écart-type de 111,55 fps, au centième celui que l'appareil imprime dans son propre en-tête.

L'outil renvoie à un notebook Julia (Ecarts-type.html). Il avait deux versions divergentes : le fichier source, réécrit en mai, et la version publiée, jamais régénérée depuis. Le source a servi de base, la version publiée ne contenant rien qu'il n'ait pas. Les trois expériences tirent désormais leurs données d'une graine fixe, déclarée dans le texte et choisie d'avance (2026, 2027, 2028). Une seconde exécution complète redonne les 19 sorties à l'identique.

La conclusion qui tenait au tirage. Avec un écart-type réel de 2,5 m/s et 20 coups, le texte concluait : « nous pouvons confortablement assurer que l'écart-type est sous les 3,5 m/s ». C'était vrai du tirage d'origine, pas en général. La borne supérieure à 90 % ne passe sous 3,5 m/s que si l'écart-type mesuré est sous 2,55 m/s, ce qui n'arrive qu'avec une probabilité d'environ 60 % (20 % si l'écart-type réel vaut 3 m/s). Le notebook le dit désormais. Le message en sort renforcé : même un lot nettement meilleur que le seuil n'est démontré tel qu'une fois sur deux ou presque avec 20 coups.

La version publiée garde la forme d'origine : graphiques vectoriels, bibliothèques servies depuis le site. Le rendu a été vérifié dans un navigateur : 38 formules, aucune erreur, cinq graphiques.

• Un vrai export Garmin : le format a été confirmé par deux sources indépendantes, mais le fichier d'essai est reconstruit.
• Les exports d'autres appareils (chronographes optiques, MagnetoSpeed), dont les en-têtes peuvent ne pas être reconnus. L'outil retombe alors sur la lecture d'une liste, et le dit en n'affichant pas de colonne.

Seconde lecture, consacrée aux seuls calculs, chaque valeur recalculée par script.

Justes : les quatre intervalles de confiance du $\chi^2$ et leurs pourcentages ; le rapport des variances (1,249) ; l'erreur d'échelle du radar (0,8 m/s ; 0,0035 m/s sur le SD ; +7,7 % sur un SD de 2 m/s si on la traitait à tort comme un bruit) ; l'addition des variances (1,530 MOA).

Faux : la table de quantification des chronographes optiques, écrite par la passe précédente (section ci-dessus : « le chiffre se calcule »). Elle donnait comme « écart par coup » l'erreur maximale d'un compteur, une période d'horloge ramenée en vitesse (1,07 m/s à 1 MHz). Or c'est un écart-type qui s'ajoute en variance, et celui d'un compteur à départ aléatoire vaut environ $1/\sqrt{6}$ période : 0,44 / 0,22 / 0,11 m/s à 1 / 2 / 4 MHz. Chiffre confirmé par simulation (400 000 passages ; erreur maximale 1,10 m/s, écart-type 0,436 m/s). Conséquences corrigées :

• le lot à 2 m/s sur un optique à 1 MHz s'affiche vers 2,05 m/s, et non 2,3 ;
• la quantification ne suffit plus à rendre « plausible » l'ordre du mètre par seconde attribué à ces appareils : elle en explique au mieux un peu moins de la moitié à 1 MHz, le reste (lumière, déclenchement, alignement) ne se calcule pas ;
• « $s_{\text{appareil}}$ n'est jamais négligeable » est retiré : à 4 MHz, l'horloge ajoute 0,15 % à un SD de 2 m/s.

La leçon est celle de la passe précédente, retournée : remplacer un chiffre reçu par un calcul n'est un progrès que si le calcul porte sur la bonne grandeur.

Trois imprécisions corrigées :

• la correction de Bessel « pour éviter les biais » : elle rend la variance sans biais, pas $s$ (−6 % en moyenne sur 5 coups, $c_4 = 0{,}940$) ;
• le seuil de Fisher « 4,0 » : 4,03 en test bilatéral ; la question posée (« le premier est-il meilleur ? ») est unilatérale, seuil 3,18, et la conclusion ne change pas ;
• l'ES qui « ignore 90 % de l'information » tandis que le SD « absorbe de façon proportionnelle et juste » un coup aberrant : simulé sur 20 tirs à 3,5 m/s avec un coup à −15 m/s, l'ES médian monte de 65 %, le SD de 38 %. Le SD réagit moins, mais il réagit ; la page le dit désormais.

Trois formulations signalées par la relecture de ton, corrigées :

• Intervalle de confiance. « Le vrai SD a 95 % de chances de se situer dans cet intervalle » est l'interprétation fautive d'un intervalle de confiance fréquentiste : le vrai SD est fixe, c'est l'intervalle qui varie d'une série à l'autre. La page dit désormais qu'il est construit pour contenir le vrai SD dans 95 % des séries.
• « Aucun constructeur ne publie la répétabilité » : la vérification n'a porté que sur Garmin et LabRadar ; la phrase est ramenée à ces deux constructeurs.
• Conséquence d'un SD sous-évalué. La page disait que le calculateur « calculera vos corrections sur un SD sous-évalué ». Les corrections de hausse dépendent de la vitesse moyenne ; un SD sous-évalué fausse la dispersion verticale prédite et la probabilité de toucher. Reformulé.

Les deux figures de la page sont produites par scripts/gen_chrono_sd_figures.py, sans simulation.

• Intervalle de confiance du SD selon le nombre de coups : bornes de la loi du χ² à n − 1 degrés de liberté, pour un SD mesuré de 3,5 m/s. Le script échoue si les bornes à 5, 10, 20 et 50 coups ne retrouvent plus le tableau du § 2 ; elles le retrouvent toutes à la décimale.
• Écart extrême et écart-type selon le nombre de coups : loi de l'étendue d'un échantillon normal, intégrée numériquement (moyenne, quantiles à 10 et 90 %), et loi du χ pour l'écart-type. À deux coups, l'étendue moyenne doit valoir 2/√π σ, ce que le script vérifie. Une simulation séparée de 200 000 séries par taille redonne moyennes et quantiles à 0,005 σ près. La note de bas de figure, « 1,6 fois », est le rapport des moyennes à 20 et à 5 coups (3,735 / 2,326 = 1,61), recalculé à chaque passage.
• Les figures ne disent rien du nombre de coups « suffisant » : la recommandation de 15 à 20 et de 30 à 40 coups reste celle du texte.

• L'article lui-même
• L'analyseur de chronographe
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