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Vérification — Rappels de probabilités et statistiques
Fiche de traçabilité de l'article Rappels de probabilités et statistiques pour le tireur. Voir la méthode.
Contrôlée dans la foulée de sa page compagnon, l'écart-type au chronographe : les deux partagent le même socle statistique, et une divergence entre elles aurait été un signal.
Ce qui a été fait
Aucune source à consulter ici : tout est dérivable. Chaque constante a donc été recalculée, et — c'est la partie inhabituelle de ce contrôle — les deux schémas ont été ouverts et mesurés, pas seulement leurs légendes.
Ressorti intact : toutes les constantes
| Grandeur | Publié | Recalculé |
|---|---|---|
| Mode de Rayleigh | $\sigma$ | $\sigma$ |
| CEP (médiane) | $\approx 1{,}18\sigma$ | $\sigma\sqrt{2\ln 2} = 1{,}1774\sigma$ |
| Rayon moyen | $\approx 1{,}25\sigma$ | $\sigma\sqrt{\pi/2} = 1{,}2533\sigma$ |
| R95 | $\approx 2{,}45\sigma$ | $\sigma\sqrt{-2\ln 0{,}05} = 2{,}4477\sigma$ |
| Règle 68–95–99,7 | 68 / 95 / 99,7 % | 68,27 / 95,45 / 99,73 % |
| Pythagore des erreurs | $\sqrt{0{,}5^2+1{,}5^2} \approx 1{,}58$ | $1{,}5811$ |
Justes également : la densité de Rayleigh et ses conditions d'application — le texte pose bien $\sigma_X = \sigma_Y$ et l'indépendance, ce que beaucoup d'exposés omettent —, la variance de Poisson égale à sa moyenne, le SNR en $\sqrt{N}$, l'addition en variance, l'erreur-type en $1/\sqrt{n}$ avec sa conséquence des « quatre fois plus de tirs », et les trois références bibliographiques (Feller 1968, Papoulis 1991, Fisher 1925).
Les deux schémas ont été mesurés dans leur code source, et ils sont justes.
Sur le schéma de dispersion, les deux cercles mis en valeur sont à 49,5 et 102,8 pixels. Rapportés au $\sigma$ implicite de la figure — 42,0 px — cela donne $1{,}179\sigma$ et $2{,}448\sigma$ : exactement le CEP et le R95 annoncés en légende. Les anneaux gris, eux, ne sont pas des multiples de $\sigma$ ; ce sont de simples repères décoratifs, ce qui pourrait tromper un lecteur attentif mais n'est pas une erreur.
Mieux : le nuage d'impacts n'est pas décoratif. Les 45 points ont été extraits et leurs distances au centre calculées. 56 % tombent dans le CEP et 98 % dans le R95, pour 50 % et 95 % attendus — écarts normaux à $n = 45$ —, et le $\sigma$ estimé sur le nuage vaut 39,8 px contre 42,0 pour les cercles. La figure a donc bien été produite par un tirage de Rayleigh à ce $\sigma$, et non dessinée à la main.
Sur le schéma gaussien, les graduations $\mu-2\sigma$ à $\mu+2\sigma$ sont à 198,6 / 284,3 / 370 / 455,7 / 541,4 px : un pas rigoureusement constant de 85,7 px.
La seule vraie correction : une borne énoncée sans sa condition
La page écrivait la borne de Cramér–Rao ainsi :
$$ \operatorname{Var}(\hat{\theta}) \ge \frac{1}{\mathcal{I}(\theta)} $$
suivie de « Aucun estimateur ne peut faire mieux ».
C'est faux sans la condition d'absence de biais, et faux de façon triviale : l'estimateur qui répond toujours la même valeur, sans regarder les données, a une variance nulle. Il est simplement toujours à côté.
L'énoncé sans condition n'est pas une approximation pédagogique — c'est ce qui rend la borne incompréhensible dès qu'on y réfléchit, parce qu'un contre-exemple se trouve en trois secondes. Ce que la borne interdit, c'est d'être à la fois juste en moyenne et arbitrairement précis, et c'est ce que la page dit désormais. Elle ajoute le compromis biais-variance, qui est la raison pour laquelle la condition compte en pratique.
Ajouté au passage, parce que la page invoquait cette borne pour expliquer l'hyperacuité de l'œil sans en donner le levier : $\mathcal{I}$ s'additionne sur des observations indépendantes, donc $n$ mesures donnent $\mathcal{I}_n = n\mathcal{I}$ et la variance minimale décroît en $1/n$. C'est ce qui raccorde ce paragraphe au $1/\sqrt{n}$ du paragraphe précédent — le lien manquait.
Une imprécision de moindre portée
L'erreur-type était donnée comme $\sigma/\sqrt{n}$, avec le vrai $\sigma$, puis la loi de Student mentionnée entre parenthèses sans qu'on comprenne pourquoi elle intervient. La substitution de $s$ à $\sigma$ est précisément ce qui l'impose : c'est écrit maintenant, et la phrase sur l'intervalle à 95 % précise que le facteur 1,96 est une limite asymptotique, sensiblement dépassée sur un petit échantillon.
Pourquoi cette page tient si bien
Elle est entièrement dérivable. Rien n'y est transcrit d'une source extérieure : les constantes se recalculent, les figures se mesurent. C'est le même constat que sur les trois dossiers de la rubrique disciplines ressortis sans correction, et que sur la visée au dioptre — les pages construites sur un raisonnement tiennent, celles qui recopient dérapent.
Le seul défaut trouvé est d'ailleurs de la même famille : ce n'est pas un chiffre faux, c'est une hypothèse omise.
Ce qui n'a pas été vérifié
- Les renvois vers
visee_dioptre— Poisson, Fisher, moindres carrés, hyperacuité. La page compagnon a été contrôlée le 2026-07-26 sans correction, mais la cohérence des deux exposés entre eux n'a pas été reprise ici. - L'intégrale du score $\mathbb{E}[s] = \int s(r) f(r)\mathrm{d}r$ est correcte comme définition, mais n'est jamais évaluée sur une cible réelle. La décroissance annoncée avec $\sigma$ suppose $s(r)$ décroissante — vrai de toute cible cotée, non dit.
- Les moindres carrés et le maximum de vraisemblance : l'équivalence sous bruit gaussien est correctement énoncée, mais l'exigence de bruit homoscédastique (ou de poids $w_i$ égaux à l'inverse des variances) n'est pas explicitée. La page mentionne les poids sans dire ce qui les fixe.
- Les éditions exactes des trois références : les années citées correspondent à des éditions réelles, mais Feller est en deux volumes et le tome n'est pas précisé.
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