Vérification — Rappels de probabilités et statistiques

Fiche de traçabilité de l'article Rappels de probabilités et statistiques pour le tireur. Voir la méthode.

Contrôlée dans la foulée de sa page compagnon, l'écart-type au chronographe : les deux partagent le même socle statistique, et une divergence entre elles aurait été un signal.

Aucune source à consulter ici : tout est dérivable. Chaque constante a donc été recalculée, et — c'est la partie inhabituelle de ce contrôle — les deux schémas ont été ouverts et mesurés, pas seulement leurs légendes.

Justes également : la densité de Rayleigh et ses conditions d'application — le texte pose bien $\sigma_X = \sigma_Y$ et l'indépendance, ce que beaucoup d'exposés omettent —, la variance de Poisson égale à sa moyenne, le SNR en $\sqrt{N}$, l'addition en variance, l'erreur-type en $1/\sqrt{n}$ avec sa conséquence des « quatre fois plus de tirs », et les trois références bibliographiques (Feller 1968, Papoulis 1991, Fisher 1925).

La page écrivait la borne de Cramér–Rao ainsi :

$$ \operatorname{Var}(\hat{\theta}) \ge \frac{1}{\mathcal{I}(\theta)} $$

suivie de « Aucun estimateur ne peut faire mieux ».

C'est faux sans la condition d'absence de biais, et faux de façon triviale : l'estimateur qui répond toujours la même valeur, sans regarder les données, a une variance nulle. Il est simplement toujours à côté.

L'énoncé sans condition n'est pas une approximation pédagogique — c'est ce qui rend la borne incompréhensible dès qu'on y réfléchit, parce qu'un contre-exemple se trouve en trois secondes. Ce que la borne interdit, c'est d'être à la fois juste en moyenne et arbitrairement précis, et c'est ce que la page dit désormais. Elle ajoute le compromis biais-variance, qui est la raison pour laquelle la condition compte en pratique.

Ajouté au passage, parce que la page invoquait cette borne pour expliquer l'hyperacuité de l'œil sans en donner le levier : $\mathcal{I}$ s'additionne sur des observations indépendantes, donc $n$ mesures donnent $\mathcal{I}_n = n\mathcal{I}$ et la variance minimale décroît en $1/n$. C'est ce qui raccorde ce paragraphe au $1/\sqrt{n}$ du paragraphe précédent — le lien manquait.

L'erreur-type était donnée comme $\sigma/\sqrt{n}$, avec le vrai $\sigma$, puis la loi de Student mentionnée entre parenthèses sans qu'on comprenne pourquoi elle intervient. La substitution de $s$ à $\sigma$ est précisément ce qui l'impose : c'est écrit maintenant, et la phrase sur l'intervalle à 95 % précise que le facteur 1,96 est une limite asymptotique, sensiblement dépassée sur un petit échantillon.

Elle est entièrement dérivable. Rien n'y est transcrit d'une source extérieure : les constantes se recalculent, les figures se mesurent. C'est le même constat que sur les trois dossiers de la rubrique disciplines ressortis sans correction, et que sur la visée au dioptre — les pages construites sur un raisonnement tiennent, celles qui recopient dérapent.

Le seul défaut trouvé est d'ailleurs de la même famille : ce n'est pas un chiffre faux, c'est une hypothèse omise.

Seconde lecture, consacrée aux seuls calculs : chaque valeur recalculée par script (scipy), et non relue.

• Toutes les valeurs publiées sont justes : 68,27 / 95,45 / 99,73 % ; repères de Rayleigh (CEP $\sqrt{2\ln 2}\thinspace\sigma = 1{,}177\sigma$, rayon moyen $1{,}253\sigma$, R95 $\sqrt{-2\ln 0{,}05}\thinspace\sigma = 2{,}448\sigma$) ; exemple d'addition des variances (1,581 MOA) ; 1,96.
• Les deux schémas sont justes, mesurés dans leur SVG : sur la gaussienne, les hauteurs à ±1σ et ±2σ valent 0,607 et 0,135 du pic ($e^{-1/2}$ et $e^{-2}$) ; sur la cible, le rapport des cercles R95/CEP vaut 2,077 pour 2,079 théorique (même σ de 42 px), avec 25 impacts sur 45 dans le CEP et 44 dans le R95.
• Quatre imprécisions de fond corrigées :
  • « le diviseur $n-1$ corrige » : il rend $s^2$ sans biais, pas $s$. Le biais est désormais chiffré ($c_4$ = 0,886 / 0,940 / 0,973 pour 3 / 5 / 10 tirs, confirmé par 200 000 tirages simulés : 0,886). C'est l'information utile au tireur : un SD sur trois balles sous-estime en moyenne de 11 % ;
  • l'intervalle de confiance « sensiblement plus grand sur un petit échantillon » reçoit ses facteurs de Student (4,30 / 2,78 / 2,26 / 2,09 / 2,05 pour 3 / 5 / 10 / 20 / 30 tirs) ;
  • la décroissance de la variance minimale en $1/n$ était attribuée à la « loi des grands nombres » : c'est la décroissance de l'erreur-type, résultat distinct ;
  • l'équivalence moindres carrés / maximum de vraisemblance exige des poids $w_i = 1/\sigma_i^2$, désormais écrits.
• Précision mineure : l'écart-type d'une loi de Poisson est la racine de la moyenne, que $\sqrt{N}$ estime.

Section écrite pour expliquer l'outil de truing du calculateur, dont la mise à jour bayésienne reposait sur une confusion entre SD et erreur-type (voir la fiche du calculateur, addendum du même jour).

• Formule : moyenne pondérée par les inverses des variances, et $\sigma = (w_1 + w_2)^{-1/2}$. C'est un résultat standard : l'estimateur à variance minimale de deux mesures gaussiennes indépendantes, identique au postérieur conjugué gaussien. « Plus précis que la meilleure des deux » découle directement de $w_1 + w_2 > \max(w_1, w_2)$.
• Constantes $d_2$ (1,693 ; 2,326 ; 3,078) : recalculées par simulation de 4 000 000 d'échantillons par n (1,6924 ; 2,3255 ; 3,0776), conformes aux tables usuelles. Le ±37 % (écart-type relatif de l'étendue de 5 coups) vient de la même simulation (37,1 %).
• Facteur plan à 5 coups (3,066) : repris de la page rayon moyen et confirmé par une simulation indépendante de 2 000 000 de groupes (3,0661).
• Exemple chiffré : chaque valeur sort d'un script exécuté avant la rédaction. Celles qui dépendent du solveur (sensibilité 1,66 cm par m/s, V₀ impliquée, a posteriori, z = 6,2) sont inscrites dans scripts/check_solver_claims.js, dans le scénario exact de l'outil. Le rapport $(3/1{,}26)^2 = 5{,}7$ et le basculement de z à 2,9 ont été recalculés à part.
• Ancres : lues dans la page rendue, où les deux-points s'évaporent (combiner_deux_mesuresla_ponderation_par_la_precision), et non devinées.

Signalé à la relecture : l'article donnait les densités de la loi normale et de Rayleigh, puis intégrait une densité pour le score moyen, sans avoir jamais dit ce qu'est une densité. La nouvelle section, placée avant la loi normale, distingue variable discrète et continue. Elle définit la densité par l'aire sous la courbe, rappelle qu'une densité n'est pas une probabilité (unité inverse, valeurs possibles au-delà de 1), puis exprime μ, σ² et $\mathbb{E}[g(X)]$ par intégrale et introduit la fonction de répartition. Les deux formules de densité portent désormais ce nom.

• Exemple chiffré, calculé avant rédaction : sommet de la densité normale pour σ = 3 m/s, $1/(3\sqrt{2\pi}) = 0{,}1330$ par m/s ; probabilité à ±0,5 m/s, approchée 0,133 et exacte $\mathrm{erf}(0{,}5/(3\sqrt{2})) = 0{,}1324$ ; sommet pour σ = 0,1 m/s, 3,989.
• Variable et valeur (signalé à la relecture le même jour) : la densité de Rayleigh était écrite en $r$ sans que $r$ soit défini à côté de $R$. La convention majuscule/minuscule est désormais posée à la définition de la densité, $r$ est défini dans la section Rayleigh, et la page précise que le $\sigma$ de la formule est celui d'un axe. L'écart-type de $R$ lui-même vaut $\sigma\sqrt{(4-\pi)/2} \approx 0{,}655\thinspace\sigma$ (recalculé), d'où l'utilité de la précision.
• CEP et R95 rattachés à la répartition de Rayleigh : $\sqrt{2\ln 2} = 1{,}1774$ et $\sqrt{2\ln 20} = 2{,}4477$, cohérents avec le tableau (1,18 et 2,45).

Question posée à la relecture : l'isotropie que suppose Rayleigh tient-elle, alors que le SD de vitesse n'agit que sur la verticale ? Non, au-delà de quelques centaines de mètres. La sous-section donne un tableau du rapport σ vertical / σ horizontal à vent nul (arme à 0,5 MOA en 5 coups, SD 3 m/s, trois munitions des préréglages du calculateur). Elle introduit la loi de Hoyt et l'intégrale de probabilité sur le disque, et chiffre l'erreur qui consiste à composer le vent dans un σ circulaire.

• Tableau et exemple 33 % / 58 % : sortis du solveur, inscrits dans scripts/check_solver_claims.js. La sensibilité est calculée à angle de départ constant, par la fonction sensibilite déjà utilisée par le garde-fou.
• Intégrale : implémentation du calculateur contrôlée contre scipy.integrate.quad (écart inférieur à 10⁻⁵), et retrouvant Rayleigh quand σx = σy.
• Lien vers la compensation positive : technique:tuners_vibration. Le premier jet visait technique:tuners, qui n'existe pas ; vérifié par l'existence du fichier.
• Non chiffré : l'anisotropie due au tireur (respiration, balancement), mentionnée qualitativement seulement.

À la demande du propriétaire, les sources de la sous-section sur la dispersion non circulaire figurent dans la liste de références, renumérotée par ordre alphabétique d'auteur : Ballistipedia [1], Litz 2012 [4], 2015 [5] et 2021 [6], Webb 2012 [8], Zima [9]. Les renvois existants ont suivi (Feller [1→2], Fisher [2→3], Papoulis [3→7]).

• Litz 2015, ch. 16 : lu dans la copie texte du livre (p. 271-283) : Monte-Carlo, 1 000 tirs répétables à 1-2 %, tableau des niveaux de confiance, note sur la borne à 95 %.
• Litz 2021 (ABDOC115) : PDF téléchargé et lu ; la note 1 est citée à la lettre. Le document porte la mention « Do not distribute » : il est lié, pas hébergé.
• Webb 2012 : le PDF du DTIC refuse l'accès automatisé (HTTP 403) ; titre, auteur, numéro et résumé ont été lus sur la notice d'archive.org. La phrase de la page reprend le résumé (« no more than 2.17 % higher than the nominal value of 0.50 ») ; le corps du rapport n'a pas été lu. Lu en entier le 2026-09-30 sur archive.org (DTIC_AD1043284, 16 p.), voir plus bas.
• Ballistipedia, Zima : pages lues le 2026-09-30. La page Ballistipedia alors citée était une page de discussion ; remplacée le même jour, voir plus bas.
• Litz 2012 : non consulté ; listé parce que Litz y renvoie, et dit comme tel.
• Une mention d'« AB Quantum » a été retirée du premier jet : la page d'Applied Ballistics ne l'établit pas.

Corrigé : la référence [1]. Elle visait Talk_Measuring_Precision, une page de discussion de 2015 entre rédacteurs. La règle qu'on lui attribuait figure dans l'article Circular Error Probable, désormais cité, qui ajoute le cas de Rice (point moyen décalé du point visé). La phrase de la page reprend les trois cas. L'article Stringing entre en [2] ; les références suivantes sont renumérotées (Feller 3, Fisher 4, Litz 5 à 7, Papoulis 8, Webb 9, Zima 10), avec leurs renvois.

Précisé : les deux hypothèses de l'intégrale de Hoyt. Elle suppose $ ho = 0$, ce que la composition axe par axe garantit ; pour une ellipse mesurée inclinée, on l'applique aux écarts-types des axes principaux (valeurs propres de la matrice de covariance, formule vérifiée). Elle suppose aussi un disque centré sur le point moyen ; sinon, loi de Rice ou intégrale sur un disque décentré.

Ajouté : la règle 39–86–99. $1 - e^{-k^2/2}$ = 0,3935 / 0,8647 / 0,9889 pour k = 1 / 2 / 3 ; cercle du rayon moyen : $1 - e^{-\pi/4}$ = 0,5441.

Ajouté : l'allongement dû au hasard. Pour une dispersion circulaire, le rapport des variances des deux axes suit une loi de Fisher à $(n-1, n-1)$ degrés de liberté. Probabilité qu'un écart-type dépasse 1,5 fois l'autre, dans un sens ou dans l'autre, soit $2\thinspace P(F > 2{,}25)$ : 0,452 / 0,243 / 0,085 / 0,033 à 5 / 10 / 20 / 30 coups ; qu'il dépasse le double, $2\thinspace P(F > 4)$ : 0,208 / 0,051 / 0,004. Le seuil d'« une dizaine de coups » est celui de Ballistipedia (Stringing).

Recoupé avec shotGroups (même jour). L'exemple de la plaque de 30 cm à 549 m a été refait avec la fonction pHoyt du logiciel R shotGroups (D. Wollschläger, 0.8.4) : 58,2 % (page : 58 %) ; 32,8 % avec un σ circulaire (33 %) ; 96,8 % sans incertitude de vent. Le détail du recoupement, dont un défaut de l'intervalle de confiance de shotGroups, est sur la fiche de « Mesurer un groupement ».

• Webb (ARL-MR-830), rapport complet lu sur archive.org. Il évalue la formule de Grubbs et Patnaik corrigée par Wilson et Hilferty : $\mathrm{CEP} = \sigma(1 - v/9)^{3/2}$, avec $\sigma^2 = \sigma_x^2 + \sigma_y^2$ et $v = 2(\sigma_x^4 + \sigma_y^4)/\sigma^4$. Simulation : 100 millions d'impacts par point, rapport des axes de 1 à 100. Les « 2,17 % » sont relatifs. Recalculé ici par l'intégrale exacte de la page, sur 201 rapports de 1 à 100 : la probabilité dans le cercle approché va de 0,5024 à 0,5108 (maximum vers un rapport de 4,5), et vaut 0,5073 à 100, l'asymptote qu'annonce Webb. 0,5108 = 0,50 × 1,0216 : c'est bien son « 2,17 % de plus ». L'ancienne phrase de la page (« au plus 2,17 % de touches de plus que les 50 % visés ») pouvait se lire 52,2 % ; elle donne désormais 51,1 %. Même pour un groupe circulaire, la formule n'est pas exacte (0,5046).
• Elder (AFIT, 1986), mémoire de 102 p. lu sur archive.org (couche de texte OCR) : résumé, chapitre V. Quatre approximations (Grubbs-Patnaik/χ², Grubbs-Patnaik/Wilson-Hilferty, RAND-234 modifiée, normale bivariée corrélée) comparées à une intégration numérique, avec ou sans décalage du point moyen. Conclusions reprises : environ 99 % de justesse sur le rayon dans la plupart des cas ; 95 à 99 % pour une ellipticité inférieure à 0,3 ; 90 à 98 % pour certaines combinaisons de décalage et d'ellipticité, que l'OCR rend illisibles et que la page ne détaille donc pas. Recommandation : calcul exact quand c'est possible, sinon Grubbs-Patnaik/χ². Le chapitre IV et les tableaux n'ont pas été lus.
• Les deux mesures ne sont pas les mêmes : Webb juge la probabilité dans le cercle, Elder l'erreur sur le rayon. La page les présente séparément.

• Les renvois vers visee_dioptre — Poisson, Fisher, moindres carrés, hyperacuité. La page compagnon a été contrôlée le 2026-07-26 sans correction, mais la cohérence des deux exposés entre eux n'a pas été reprise ici.
• L'intégrale du score $\mathbb{E}[s] = \int s(r) f(r)\mathrm{d}r$ est correcte comme définition, mais n'est jamais évaluée sur une cible réelle. La décroissance annoncée avec $\sigma$ suppose $s(r)$ décroissante — vrai de toute cible cotée, non dit.
• Les moindres carrés et le maximum de vraisemblance : l'équivalence sous bruit gaussien est correctement énoncée, mais l'exigence de bruit homoscédastique (ou de poids $w_i$ égaux à l'inverse des variances) n'est pas explicitée. La page mentionne les poids sans dire ce qui les fixe.
• Les éditions exactes des trois références : les années citées correspondent à des éditions réelles, mais Feller est en deux volumes et le tome n'est pas précisé.

• L'article lui-même
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